Es el factor determinante es el "único" grupo homomorphism de$\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$$\mathbb R^\times$?

Question

Esta podría ser una pregunta tonta; sólo sé que suficiente teoría de grupo para ser capaz de hacer preguntas tontas.

Ken W. Smith ha señalado que una forma de llegar a la intuición sobre el factor determinante es observar que los mapas de la multiplicación de la matriz a real de la multiplicación. Como es continua, demasiado, esto significa que es una Mentira grupo homomorphism de $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$ para el grupo multiplicativo de los reales distintos de cero, $\mathbb R^\times$. La pregunta natural es, entonces, si es el único ejemplo homomorphism.

Obviamente no: cualquier función de $\mathbf A \mapsto (\det\mathbf A)^k$ $k\in\mathbb Z$ es también un homomorphism.

Pero son todos homomorphisms entre los dos grupos de tal forma? Es decir,

Es todo Mentira grupo homomorphism de $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$ $\mathbb R^\times$idéntica a $\mathbf A \mapsto f(\det\mathbf A)$ para algunos homomorphism $f:\mathbb R^\times\to\mathbb R^\times$?

Answer 1

En general, si $\phi : G \to H$ es una Mentira grupo homomorphism entonces obtenemos una Mentira álgebra homomorphism $\phi_* :\mathfrak g \to \mathfrak h$. Si $\phi,\psi : G\to H$ son dos Mentir grupo homomorphisms, a continuación, $\phi_* = \psi_*$ implica $\phi = \psi$. Así que realmente sólo tiene que clasificar Mentira álgebra homomorphisms $\mathfrak{gl}_n(\mathbb R)\to \mathbb R$ y luego ver cuáles levantar a los grupos.

Desde la Mentira de álgebra $\mathbb R$ es abelian, éstas se encuentran álgebra homomorphisms son aquellos elementos de $\mathfrak{gl}_n(\mathbb R)^*$ que se desvanecen en los conmutadores. Resulta que esta propiedad caracteriza de forma exclusiva la traza a escala (yo no era capaz de encontrar una buena referencia, pero debe ser fácil, aunque un poco desordenado, para demostrar a mano).

Así que, dado que $\phi : \mathrm{GL}_n(\mathbb R) \to \mathbb R^\times$, $\phi_* = c \operatorname{tr}$ algunos $c \in \mathbb R$. Ahora $\phi_*$ restringe a los componentes conectados en el que se integra a $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)_+ \ni A\mapsto(\det A)^c \in \mathbb R^+$. Por supuesto, para este homomorphism extender a todos los de $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$ se requiere que el mapa $a \mapsto a^c$ estar bien definidas en todos los de $\mathbb R^\times$, por lo que Mentir grupo homomorphism es$\det$, seguido por un automorphism de $\mathbb R^\times$.