Espectros de restricciones de operadores acotados

Question

Supongamos que $T$ es un operador acotado en un espacio de Banach $X$ y $Y$ es un subespacio invariante cerrado no trivial para $T$ . Es bastante fácil demostrar que para el espectro de puntos uno tiene $\sigma_p(T_{|Y})\subseteq\sigma_p(T)$ y esto también es cierto para el espectro puntual aproximado es decir $\sigma_a(T_{|Y})\subseteq\sigma_a(T)$ . Sin embargo, Creo que no es cierto en general que $\sigma(T_{|Y})\subseteq\sigma(T)$ . También tenemos

$$ \partial(\sigma(T_{|Y}))\subseteq\sigma_a(T_{|Y})\subseteq\sigma_a(T) $$

Por lo tanto, $\sigma(T_{|Y})\cap\sigma(T)\ne\emptyset$ . Además, si $\sigma(T)$ es discreto entonces $\partial(\sigma(T_{|Y}))$ también es discreto, lo que implica que $\partial(\sigma(T_{|Y}))=\sigma(T_{|Y})$ Así que, al menos en este caso, la inclusión $\sigma(T_{|Y})\subseteq\sigma(T)$ es cierto. Así, por ejemplo, es cierto para los operadores compactos, estrictamente singulares y cuasinilpotentes.

Pregunta 1 : ¿Es cierto, como sospecho, que $\sigma(T_{|Y})\subseteq\sigma(T)$ no se sostiene en general? Se agradecería un contraejemplo. En $l_2$ será suficiente, ya que creo que en algunos espacios de Banach esto es válido para cualquier operador. Por ejemplo, si $X$ es hereditario indecomponible (HI), el espectro de cualquier operador es discreto.

Pregunta 2 (impreciso): Si la respuesta a la pregunta 1 es "sí", ¿existe algún resultado conocido sobre el tamaño que puede alcanzar el espectro de la restricción?

Gracias.

Answer 1

Por ejemplo, consideremos el operador de desplazamiento a la derecha $R$ en $X = \ell^2({\mathbb Z})$ , $Y = \{y \in X: y_j = 0 \ \text{for}\ j < 0\}$ . Entonces $Y$ es invariable bajo $R$ y $\sigma(R)$ es el círculo unitario mientras que $\sigma(R|_Y)$ es el disco unitario cerrado.

Answer 2

Por ejemplo, buscando un caso en el que $0$ está en el espectro de $T|_Y$ pero no en el espectro de $T$ equivale a buscar una extensión invertible de un operador inyectivo no subjetivo. Para tener alguna esperanza, $T|_Y$ también debe estar acotado por debajo. En el caso de que $T_Y$ es una isometría en el espacio de Hilbert, siempre hay una extensión unitaria, y la respuesta de Robert Israel da el ejemplo canónico de esto.

Si $A$ es un operador acotado, acotado por debajo, no subjetivo en un espacio de Hilbert $H$ , entonces dejemos que $T$ esté definida en el espacio de Hilbert $H\oplus H$ por la matriz de operadores $\begin{bmatrix}A&I+A^*\\0&A^*\end{bmatrix}$ . Recuperamos $A$ como la restricción de $T$ a $H\oplus \{0\}$ y $A$ no es invertible.

Sin embargo, $T$ es invertible. Si $T\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=0$ entonces $A^*y=0$ y $Ax+y=0$ . Desde $y\in\ker(A^*)=(AH)^\perp$ se deduce que $Ax=y=0$ Por lo tanto $x=0$ . Esto demuestra que $T$ es inyectiva. Para ver que $T$ es suryente, sea $a$ y $b$ sean elementos arbitrarios de $H$ . Desde $A$ está acotado por debajo, $A^*$ es onto, por lo que existe $y_0\in H$ con $A^*y_0=b$ . Desde $A$ tiene el rango cerrado, $H=AH\oplus \ker(A^*)$ por lo que existe $x\in H$ y $z\in\ker(A^*)$ tal que $Ax+z=a-b-y_0$ . De ello se desprende que $T\begin{bmatrix}x\\y_0+z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}$ .

Si $A$ es una isometría, entonces $\begin{bmatrix}A&I-AA^*\\0&A^*\end{bmatrix}$ es un operador unitario que extiende $A$ . Si $A$ no es unitario, su espectro es el disco unitario cerrado, y el espectro de la extensión es el círculo unitario.