Una respuesta de la geometría algebraica es que el conjunto de primer ideales de un anillo de satisfacer los axiomas de un conjunto cerrado en una topología. Mi personal elaboración de esta respuesta es la siguiente.
Para interpretar un anillo de $R$ "geométricamente" es interpretar el anillo $R$ como un anillo de "funciones" en un "espacio" $X$ tales que las colecciones de puntos de $X$ en la que "funciones" de $R$ "desaparecer" de forma interesante "geométrica" de los objetos que nos thinkof como vivir en el "espacio" de $X$.
Hacer este preciso equivale a lo siguiente:
- El anillo $R$ consiste en funciones en $X$ significa que hay (surjective) la evaluación de los mapas de $R\a R_x$ clasificadas como $f\mapsto f(x)$, donde $R_x$ es el conjunto de valores que los elementos de la $R$ puede tomar cuando se evalúa en el punto $x\in X$. Tenga en cuenta que por el bien de la generalidad, podemos tener diferentes conjuntos de valores posibles en diferentes puntos.
- Decimos que Una función $f\in I$ se desvanece en el punto $x\in X$ si su valor de $f(x)$ en ese punto, es el mismo que el valor de $0(x)$ de el elemento cero de $R$ (función de este es la misma que requiere que la fuga es un punto de sabio condición, y que $0$ se desvanece en todas partes).
- Además, hemos deseo de fuga para satisfacer agradable propiedades: si una función $f$ se desvanece en $x$, por lo que hace cualquier múltiplo de $f\cdot g$, y dos funciones $f$ y $g$ tienen el mismo valor en $x$ si su diferencia se desvanece en $x$.
Estas tres propiedades básicas asegurarse de que la evaluación de los mapas de $f\mapsto f(x)$ dar a cada $R_x$ la estructura de un cociente del anillo, y, por tanto, la evaluación del mapa corresponde a un ideal de $R$. Me gusta llamar a este ideal $\ker x$ porque me gusta pensar en los puntos en el espacio como en la evaluación de los mapas. Claramente, desde el punto de vista de el anillo $R$, los puntos con la misma núcleos son indistinguibles, por lo que podemos identificar el "espacio" $X$ en la que el anillo $R$ es un anillo de "funciones" simplemente como un conjunto de ideales de $R$, lo que designamos como especial punto de ideales.
Lo que es interesante es que ahora la fuga puede ser fácilmente interpretado como sigue: $f$ se desvanece en $x$ si y sólo si $f\in\ker x$ si y sólo si $\left<f\right>\subconjunto\ker x$. Empujando más a fondo, un conjunto de funciones, se desvanece en un punto $$ x si y sólo si $I=\left<f_i\right>\subconjunto\ker x$, así que un "objeto geométrico" se define como donde una colección de funciones se desvanece consiste en el punto de ideales de $R$ contenido en un ideal: objetos geométricos son especificados por los ideales de $R$!
Ahora, los objetos geométricos se comportan muy bien: arbitrario intersecciones de objetos geométricos son los objetos geométricos. Por desgracia, no están lo suficientemente bueno sin una suposición: si queremos que la unión de dos objetos geométricos (como las colecciones de punto de ideales) a ser un objeto geométrico, a continuación, en realidad, es necesario que cada punto ideal primo. Una vez que esta suposición está hecho, podemos hablar de finito de los sindicatos de los objetos geométricos y arbitraria de las intersecciones de ellos, lo que nos permite hablar de los objetos geométricos "local": mediante la investigación de pequeñas partes manejables de ellos, lo que sería luego el parche de nuevo juntos.
