Sospecho que
$$\sqrt{C}\,\int_{0}^{+\infty }{{{y^2}\over{y^2\,C+y^4-2\,y^2+1}}\;\mathrm dy}= {{\pi}\over{2}}$$
para $C>0$.
He intentado $C=1$, $C=2$, $C=42$, e $C=\frac{1}{1000}$ con Wolfram Alpha. Pero, ¿cómo demostrarlo?
Respuestas
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Deje $f : \Bbb{R} \to \Bbb{C}$ ser un integrable incluso la función. A continuación, pretendemos que
$$ \int_{0}^{\infty} f\left( y - \frac{1}{y} \right) \, dy = \int_{0}^{\infty} f(x) \, dx. \tag{1} $$
De hecho, vamos a $I$ el valor del lado izquierdo de $(1)$. A continuación, por la sustitución de $y \mapsto y^{-1}$ hemos
$$ I = \int_{0}^{\infty} f\left( \frac{1}{y} - y \right) \, \frac{dy}{y^2} = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{y^2} f \left( y - \frac{1}{y} \right) \, dy. $$
Así, con la sustitución de $x = y - y^{-1}$, tenemos
$$ 2I = \int_{0}^{\infty} \left( 1 + \frac{1}{y^2} \right) f\left( y - \frac{1}{y} \right) \, dy = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{\infty} f(x) \, dx $$
y la conclusión de la siguiente manera.
Ahora puede conectar
$$ f(x) = \frac{1}{C + x^2} $$
a $(1)$ para obtener la siguiente conclusión:
$$ \int_{0}^{\infty} \frac{y^2}{Cy^2 + (y^2 - 1)^2} \, dy = \int_{0}^{\infty} \frac{dy}{C + (y - y^{-1})^2} \, dy = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{C + x^2} = \frac{\pi}{2\sqrt{C}}. $$
Dennis
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Tenga en cuenta que $$\frac{y^2}{y^4-(2-C)y^2+1}=\frac{1}{\alpha_+-\alpha_-}\left(\frac{\alpha_+}{y^2+\alpha_+}-\frac{\alpha_-}{y^2+\alpha_-}\right),$$ donde $-\alpha_{\pm}$ denotar dos raíces de la ecuación de $z^2-(2-C)z+1=0$. Para la integral inicial a converger, $\alpha_{\pm}$ debe ser positivo, ya sea conjugado a cada uno de los otros. Considerar para simplificar el caso anterior. Entonces \begin{align} \int_{0}^{\infty}\frac{y^2dy}{y^4-(2-C)y^2+1}&=\frac{\alpha_+}{\alpha_+-\alpha_-}\int_0^{\infty}\frac{dy}{y^2+\alpha_+}-\frac{\alpha_-}{\alpha_+-\alpha_-}\int_0^{\infty}\frac{dy}{y^2+\alpha_-}=\\ &=\left(\frac{\sqrt{\alpha_+}}{\alpha_+-\alpha_-}-\frac{\sqrt{\alpha_-}}{\alpha_+-\alpha_-}\right)\int_0^{\infty}\frac{dt}{t^2+1}=\\ &=\frac{1}{\sqrt{\alpha_+}+\sqrt{\alpha_-}}\frac{\pi}{2}. \end{align} Pero tenemos $\left(\sqrt{\alpha_+}+\sqrt{\alpha_-}\right)^2=(\alpha_++\alpha_-)+2\sqrt{\alpha_+\alpha_-}=(C-2)+2\sqrt{1}=C$, por lo que la instrucción de la siguiente manera.
jeffamaphone
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Así, se puede comenzar por escribir el denominador como esto: $ y^4+y^2(C-2)+1=(y^2-\frac{2-C-\sqrt{C(C-4)}}{2})(y^2-\frac{2-C+\sqrt{C(C-4)}}{2})$. Esto es simplemente la solución de una ecuación cuadrática (feo, pero se va a hacer). Así que, ahora, queremos simplificar esta expresión, de alguna manera, como por escrito:
$ \frac{y^2}{(y^2-\frac{2-C-\sqrt{C(C-4)}}{2})(y^2-\frac{2-C+\sqrt{C(C-4)}}{2})}=\frac{A}{y^2-\frac{2-C-\sqrt{C(C-4)}}{2}}+\frac{B}{y^2-\frac{2-C+\sqrt{C(C-4)}}{2}}=\frac{A(y^2-\frac{2-C+\sqrt{C(C-4)}}{2})+B(y^2-\frac{2-C-\sqrt{C(C-4)}}{2})}{(y^2-\frac{2-C+\sqrt{C(C-4)}}{2})(y^2-\frac{2-C+\sqrt{C(C-4)}}{2})}=\frac{y^2(A+B)-1(A(\frac{2-C-\sqrt{C(C-4)}}{2})+B(\frac{2-C-\sqrt{C(C-4)}}{2})}{(y^2-\frac{2-C-\sqrt{C(C-4)}}{2})(y^2-\frac{2-C+\sqrt{C(C-4)}}{2})}$.
Por lo tanto,queremos $A+B=1 \wedge A(\frac{2-C+\sqrt{C(C-4)}}{2})+B(\frac{2-C-\sqrt{C(C-4}}{2})=0$. Este es un sistema lineal, que se puede resolver para encontrar a y B y, a continuación, calcular la integral.
