Alias/alibi en grupos de permutación

Question

Esta cuestión surgió al impartir un curso de teoría de grupos básica a estudiantes de secundaria.

Le di a la clase la tarea de enumerar todos los subgrupos que pudieran encontrar en $S_4$ y en el grupo $O$ de rotaciones del cubo. Los alumnos sospecharon que los grupos eran isomorfos y se les ocurrió considerar las acciones de las rotaciones sobre las diagonales largas del cubo para obtener un mapa $f:O\rightarrow S_4$ que (con razón) sospechaban que era un isomorfismo.

La conversación se estancó cuando intentaron demostrar que era un isomorfismo. Les dirigí primero a la cuestión de si $f(xy)=f(x)f(y)$ Pensando que así sería más fácil deducir la inyectabilidad o la subjetividad, por ejemplo, encontrando generadores en la imagen. Sin embargo, ya estaban atascados en si $f(xy)=f(x)f(y)$ aunque cuando calcularon realmente $f(xy)$ y $f(x)f(y)$ para dos o tres pares de rotaciones $x,y$ (lo que implicó un intenso trabajo de visualización para componer las rotaciones en el espacio 3, ya que no conocen las matrices), las respuestas hizo partido. Mientras les escuchaba hablar de ello, me di cuenta de que había algunas sutilezas que tenían que ver con la forma de etiquetar los elementos del grupo que me hicieron darme cuenta de que había algo fundamental que quería entender mejor también aquí.

Quiero llegar al fondo de esto. Esta es la configuración:

Estuvimos viendo las rotaciones del cubo en términos de un sistema de coordenadas fijo; podrías verlas como transformaciones de la coartada . Así, por ejemplo, aunque no lo hayamos hecho, se podría ver el cubo como el que tiene vértices $\{\pm 1,\pm 1,\pm 1\}$ en $\mathbb{R}^3$ y $O$ como el grupo generado por las matrices

$$x=\begin{pmatrix} & &1\\1& & \\ &1& \end{pmatrix},\; y=\begin{pmatrix}1& & \\ & &-1\\ &1& \end{pmatrix}$$

La cuestión es que imaginamos que el sistema de coordenadas es fijo, los elementos del grupo son transformaciones coartadas fijas en el sistema de coordenadas, y el cubo se está moviendo.

Mientras tanto, escribíamos las permutaciones como funciones del conjunto de índices $\{1,2,3,4\}$ a sí mismo, y componiéndolos en consecuencia, utilizando la convención de composición de funciones de derecha a izquierda. $(123)$ aplicado a $1$ es igual a $2$ etc.

El mapa $f$ se dio eligiendo algún rótulo en las diagonales largas del cubo en su posición inicial, por ejemplo $\overline{(-1,-1,-1)(1,1,1)} = 1$ , $\overline{(1,-1,1)(-1,1,-1)} = 2$ , $\overline{(1,-1,-1)(-1,1,1)} = 3$ y $\overline{(1,1,-1)(-1,-1,1)} = 4$ . Entonces, para una rotación dada $\rho$ , definiendo $f(\rho)$ como la permutación que describe dónde $\rho$ envía cada índice cuando el cubo está en su posición original.

Para ilustrar, en el presente ejemplo, esto significa $y\mapsto (1234)$ por ejemplo, y $x\mapsto (243)$ . Tenemos

$$xy = \begin{pmatrix} & &1\\1& & \\ &1& \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& & \\ & &-1\\ &1& \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} &1& \\1& & \\ & &-1\end{pmatrix}$$

y $f(xy) = (14)$ . Mientras tanto, $f(x)f(y) = (243)(1234) = (14)$ (recuerda que estamos componiendo permutaciones de derecha a izquierda).

Pensando tanto en las permutaciones como en las rotaciones como funciones, en el primer caso sobre el conjunto de índices y en el segundo sobre el cubo, y pudiendo restringir la acción a las diagonales largas, queda claro ( obvio ) a mí por qué $f$ es un homomorfismo. Todos los $f$ hace es registrar lo que una rotación $\rho$ hace a las diagonales. Así que $f(\rho\eta)$ es lo que $\eta$ , seguido de $\rho$ hace a las diagonales, y $f(\rho)f(\eta)$ es lo que $\eta$ hace a las diagonales seguido de lo que $\rho$ hace a las diagonales. Evidentemente, son las mismas.

Pero hay otra forma de pensar en la que puedo participar que me confunde sobre esto, y no puedo aclarar dónde está el problema. Además, esta forma de pensar (claramente equivocada) aborda algunas cuestiones que la anterior no aborda en absoluto. Así que mi pregunta es:

(A) ¿Qué hay de malo en la siguiente línea de pensamiento? (B) ¿Puede explicar en términos que se comprometen con este tren de pensamiento por qué $f$ es un homomorfismo?

Como en el caso anterior, piense en el grupo $O$ que actúan sobre el cubo mediante rotaciones en un sistema de coordenadas fijo. $\rho\in O$ se refiere a una rotación con referencia al sistema de coordenadas fijo; los cambios de orientación del cubo no afectan al significado de $\rho$ .

Elige una orientación inicial del cubo, y un etiquetado de las diagonales largas, como en el caso anterior. Para cada $\rho\in O$ , escriba la permutación $f(\rho)$ que describe la acción de $\rho$ en las diagonales largas en esta orientación inicial.

Ahora considere $f(\rho\eta)$ . $\eta$ mueve las diagonales a algún lugar, $\rho$ los mueve de nuevo, y $f$ escribe lo que hizo la composición, en términos de la orientación original del cubo.

Por otro lado, considere $f(\rho)f(\eta)$ . $f(\eta)$ no es problemático; anota lo que $\eta$ hizo a las diagonales, que es lo mismo que antes. Pero ahora las diagonales están en nuevos lugares, así que cuando $\rho$ actúa sobre ellos, no hará lo mismo que hizo cuando actuó sobre el cubo en su orientación original. Por lo tanto, lo que $\rho$ hace a las diagonales después de $\eta$ se ha aplicado no será lo mismo que $f(\rho)$ que trata de describir lo que $\rho$ a las diagonales en su original orientación. Así, $f(\rho)f(\eta)$ debería salir algo diferente.

Empíricamente, esta lógica es errónea, y además contradice la lógica anterior que explica por qué $f$ es (obviamente) un homomorfismo. Supongo que hay algún tipo de confusión alias/alibi en ello. Sea como fuere, no consigo sacarlo del todo. ¿Puede ayudarme? Una respuesta ideal explicaría dónde está la falacia y también daría una explicación correcta de lo que está pasando que se compromete con los problemas de alias/alibi en la lógica falaz.

Gracias de antemano.

Answer 1

Respuesta a (A) Es ambiguo y confuso decir que $f(\rho)$ "registra lo que $\rho$ hace a las diagonales" sin distinguir entre las diagonales como posiciones fijas en el espacio y las diagonales como objetos móviles en el espacio, véase más adelante.

Respuesta a (B) Distinguir entre un cubo "geográfico", "inamovible", "absoluto", formado por cuatro diagonales "absolutas" $AD_1,AD_2,AD_3,AD_4$ y un cubo móvil formado por cuatro diagonales "físicas", "móviles" (las llamaremos varillas ) $MD_1,MD_2,MD_3,MD_4$ . En cada posición "alcanzable", cada varilla $MD_j$ tiene una ubicación única entre los $AD_i$ .

¿Qué hace $f(\rho)$ ¿expresar en este contexto? Si $f(\eta)$ envía $i$ a $j$ , $\eta$ es mover la varilla situada en $AD_i$ (llamémoslo $r$ ) y ponerlo en $AD_j$ . A su vez, si $f(\rho)$ envía $j$ a $k$ , $\rho$ es volver a mover este mismo $r$ de $AD_j$ a $AD_k$ . Esta sucesión de dos movimientos, $\eta$ seguido de $\rho$ , equivale simplemente a mover $r$ de $AD_i$ a $AD_k$ . Esto debería dejar claro que $f(\rho\eta)=f(\rho)f(\eta)$ .