Sela prueba de diamante

Question

Este papel es http://www.cs.elte.hu/~kope/ss3.pdf .

En el Comentario 1 : quiero demostrar que el conjunto $$D=\{\delta<\lambda^+:\pi\restriction \delta \text{ is a bijection onto }\lambda\times\delta\}$$ is a club in $\lambda^+$.

$D$ se cierra : vamos a $\mu<\lambda^+$ $\delta_1<\delta_2<\dots<\delta_\xi<\dots \in D$ estrictamente creciente secuencia de elementos de $D$ de la longitud de la $\mu$. Deje $\delta=sup(\delta_\xi:\xi<\mu)$. Definir $\pi\restriction\delta$ como sigue : si $\gamma<\delta$ definir $\pi\restriction\delta(\gamma)=\pi\restriction\delta_\xi(\gamma)\in\lambda\times\delta_\xi\subseteq\lambda\times\delta$ $\xi<\gamma$ tal que $\gamma<\delta_\xi<\delta$. A continuación, $\pi\restriction\delta$ es un bijection en $\lambda\times\delta$. Por lo $\delta\in D$ $D$ es cerrado.

$D$ es cofinal : vamos a $\mu<\lambda^+$. Quiero encontrar un elemento de $D$$\mu$$\lambda^+$. No sé cómo hacer que .... construir una estrictamente creciente secuencia de elementos mayor que $\mu$, de modo que el sup es en $D$ ? pero, ¿cómo ....

En el Comentario 2 : en Primer lugar, es necesario ver que la cardinalidad de a$[\lambda^+]^{\leq\lambda}$$\lambda^+$. Mi prueba es el siguiente : tenemos $$[\lambda^+]^{\leq\lambda}=\coprod_{\mu\leq\lambda}\{X\subseteq\lambda^+ : |X|=\mu\}$$ lo $$|[\lambda^+]^{\leq\lambda}|=\lambda\times\sup\{|[\lambda^+]^\mu| : \mu\leq\lambda\}= \lambda\times(\lambda^+)^\lambda=(\lambda^+)^\lambda$$ Por supuesto, sabemos que $2^\lambda\leq(\lambda^+)^\lambda$$\lambda^+\leq2^\lambda$$(\lambda^+)^\lambda=2^\lambda=\lambda^+$. Por lo tanto la enumeración. A continuación, queremos mostrar que $$C=\{\delta<\lambda^+ : \forall\mu<\delta, \exists\alpha,\beta<\delta \text{ with }\mu<\alpha, Z\cap\alpha=X_\beta\}$$ es un club. Es fácil probar la cercanía de $C$. Pero, tengo algún problema para demostrar que $C$ es ilimitado .... podía alguien me puede ayudar ?

Answer 1

En la prueba de que $D$ es cerrado en el Comentario 1 no se puede definir $\pi\upharpoonright\delta$: el bijection $\pi$ ya está arreglado, y por lo tanto también lo es su restricción a $\delta$. Lo que tiene para mostrar es que el $\pi\upharpoonright$ mapas de $\delta$ a $\lambda\times\delta$. (Ya se sabe que es uno-a-uno). Pero esto es fácil: $$\pi\upharpoonright\delta=\bigcup_{\xi<\mu}(\pi\upharpoonright\delta_\xi)\;,$$ so $$\operatorname{ran}(\pi\upharpoonright\delta)=\bigcup_{\xi<\mu}\operatorname{ran}(\pi\upharpoonright\delta_\xi)=\bigcup_{\xi<\mu}(\lambda\times\delta_\xi)=\lambda\times\bigcup_{\xi<\mu}\delta_\xi=\lambda\times\delta\;.$$

Para mostrar que $D$ es ilimitado en la $\lambda^+$, vamos a $\alpha<\lambda^+$ ser arbitraria, y deje $\alpha_0=\alpha+1$. Vamos $R_0=\operatorname{ran}(\pi\upharpoonright\alpha_0)\subseteq\lambda\times\lambda^+$. $|R_0|\le\lambda$, así que hay un $\beta_0<\lambda^+$ tal que $\beta_0>\alpha_0$$R_0\subseteq\lambda\times\beta_0$. Desde $\pi$ es un bijection de $\lambda^+$ a $\lambda\times\lambda^+$, e $|\lambda\times\beta_0|\le\lambda$, debe haber un $\alpha_1<\lambda^+$ tal que $\alpha_1>\beta_0$$\operatorname{ran}(\pi\upharpoonright\alpha_1)\supseteq\lambda\times\beta_0$.

Continuar de esta manera a construir el aumento de las secuencias de $\langle\alpha_n:n\in\omega\rangle$ $\langle\beta_n:n\in\omega\rangle$ $\lambda^+$ tal que $\alpha_n<\beta_n<\alpha_{n+1}$ por cada $n\in\omega$. Dado $\alpha_n<\lambda^+$, vamos a $R_n=\operatorname{ran}(\pi\upharpoonright\alpha_n)$; como antes, $|R_n|\le\lambda$, por lo que podemos optar $\beta_n<\lambda^+$, de modo que $\beta_n>\alpha_n$$R_n\subseteq\lambda\times\beta_n$, y luego encontrar a $\alpha_{n+1}<\lambda^+$ tal que $\alpha_{n+1}>\beta_n$$\operatorname{ran}(\pi\upharpoonright\alpha_{n+1})\supseteq\lambda\times\beta_n$.

Ahora vamos a $\delta=\sup\{\alpha_n:n\in\omega\}=\sup\{\beta_n:n\in\omega\}$. (El entrelazamiento de las dos secuencias se asegura de que estos suprema realmente son iguales). Entonces $$\pi\upharpoonright\delta=\bigcup_{n\in\omega}(\pi\upharpoonright\alpha_n)\;,$$ so $$\operatorname{ran}(\pi\upharpoonright\delta)=\bigcup_{n\in\omega}\operatorname{ran}(\pi\upharpoonright\alpha_n)\subseteq\bigcup_{n\in\omega}(\lambda\times\beta_n)=\lambda\times\bigcup_{n\in\omega}\beta_n=\lambda\times\delta\;,$$ and $$\operatorname{ran}(\pi\upharpoonright\delta)=\bigcup_{n\in\omega}\operatorname{ran}(\pi\upharpoonright\alpha_n)=\bigcup_{n\in\omega}\operatorname{ran}(\pi\upharpoonright\alpha_{n+1})\supseteq\bigcup_{n\in\omega}(\lambda\times\beta_n)=\lambda\times\bigcup_{n\in\omega}\beta_n=\lambda\times\delta\;,$$ and therefore $\operatorname{ran}(\pi\upharpoonright\delta)=\lambda\times\delta$, and $\alpha<\delta\en D$.

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Realmente no importa, pero no he traducido Observación 2 correctamente. Aquí está:

Observación 2. Si $\{X_\alpha:\alpha<\lambda^+\}$ es una enumeración de $[\lambda^+]^{\le\lambda},Z\subseteq\lambda^+$, para un conjunto de club de $\delta<\lambda^+$, el siguiente tiene. Hay arbitrariamente grande, $\alpha<\delta$ tal que para algunos $\beta<\delta$, $Z\cap\alpha=X_\beta$ sostiene.

Deje $C=\{\delta<\lambda^+:\forall\mu<\delta\,\exists\alpha,\beta<\delta\,(\alpha>\mu\,\land Z\cap\alpha=X_\beta)\}$, tal como se han definido; el comentario no dice de hecho que $C$ es cerrado, simplemente que contiene un conjunto de club. Sin embargo, tienes toda la razón que $C$ es, de hecho, cerrado y que esto es fácil de demostrar.

Para $\alpha<\lambda^+$ deje $Z_\alpha=Z\cap\alpha$. Supongamos primero que $|Z|\le\lambda$, por lo que el $Z$ está delimitado en $\lambda^+$; a continuación, hay algunos $\eta<\lambda^+$ tal que $Z_\alpha=Z$ siempre $\eta\le\alpha<\lambda^+$. También hay algo de $\beta<\lambda^+$ tal que $Z=X_\beta$, y claramente $C\supseteq\{\delta<\lambda^+:\delta>\max\{\eta,\beta\}\}$ y es ilimitado en la $\lambda^+$.

Ahora supongamos que $|Z|=\lambda^+$. Para $\alpha<\lambda^+$ hay un único, $\varphi(\alpha)<\lambda^+$ tal que $Z_\alpha=X_{\varphi(\alpha)}$. Deje $\eta_0<\lambda^+$ ser arbitraria. Dado $\eta_n<\lambda^+$, vamos a $\eta_{n+1}=\sup(\{\eta_n+1\}\cup\{\varphi(\alpha)+1:\alpha<\eta_n\})$. Por último, vamos a $\delta=\sup\{\eta_n:n\in\omega\}$. Si $\mu<\delta$, hay un $n\in\omega$ tal que $\mu<\eta_n<\eta_{n+1}$; deje $\alpha=\eta_n$$\beta=\varphi(\eta_n)=\varphi(\alpha)$. Entonces $Z\cap\alpha=Z_\alpha=X_\beta$, $\mu<\alpha<\delta$, y $\beta=\varphi(\eta_n)<\eta_{n+2}<\delta$, lo $\eta_0<\delta\in C$, e $C$ es ilimitado.