Mi principal referencia para esta pregunta es el muy buen libro de los Grupos Cuánticos y el Nudo Invariantes por C. Kassel, M. Rosso, y V. Turaev. Yo también soy de dibujo de P. Etingof y O. Schiffmann, Conferencias sobre los grupos cuánticos, otro libro muy bueno. Si usted desea ver las fotos de la Mentira bialgebras y quasitriangular estructuras, voy descaradamente auto-promover mis notas en la Mentira bialgebras, la que puse juntos mientras estudiaba para mi quals el año pasado.
Elija su favorito campo de la característica $0$, y deje $\mathfrak g$ ser finito-dimensional Mentira álgebra. Abusando un poco el idioma, permítanme definir un (cuadrática) Casimir ser cualquier simétrica $\mathfrak g$invariante en el elemento $t\in \mathfrak g^{\otimes 2}$. (Equivalentemente, $t$ es simétrica y su imagen en el universal que envuelve álgebra $\mathcal U\mathfrak g$ es central.) Me gustaría comparar dos construcciones de "quantum" de las categorías que comienzan con esta Mentira teórica de los datos.
La cuantificación de infinitesimalmente trenzado categorías
Así que debes elegir una cuadrática Casimir $t$. Deje $\mathcal S$ ser la categoría de finito-dimensional $\mathfrak g$-módulos. Para cualquiera de los dos módulos de $(\pi\_U,U)$$(\pi\_V,V) \in \mathcal S$, tenemos un elemento $t\_{U,V} \in {\rm End}\_{\mathfrak g}(U\otimes V)$$t_{U,V} = (\pi_U \otimes \pi_V)(t)$; es una $\mathfrak g$-morfismos porque $t$ $\mathfrak g$- invariante. Por otra parte, en virtud de la canónica "flip" mapa $\sigma_{U,V}: U\otimes V \to V\otimes U$, $t_{U,V}$ los mapas de a $\sigma_{U,V}t_{U,V}\sigma_{V,U} = t_{V,U}$, debido a $t$ es un elemento simétrico de a $\mathfrak g^{\otimes 2}$. Junto con la regla de cómo $\mathfrak g$ actúa sobre el tensor de productos (determinación de la acción de la $t_{U,V\otimes W}$$U\otimes V\otimes W$), se deduce que el $t$ define en $\mathcal S$ la estructura de un infinitesimalmente trenzado de categoría.
A continuación, recordar la siguiente muy de la construcción en general. Deje $\Phi$ ser un Drinfeld asociador: es decir, $\Phi(A,B)$ es un poder formal de la serie en no-desplazamientos de las variables de la forma $\exp($una Mentira serie$)$, el cumplimiento de determinadas condiciones no lineales (un "pentágono" y dos "hexágono"s) que hacen que el siguiente trabajo de construcción. (Sólo una Drinfeld asociador es explícitamente conocida, dada por la solución a la Knizhnik-Zamolodchikov la ecuación diferencial, y sus coeficientes son reales, sino trascendental. Pero las ecuaciones de definición de $\Phi$ en cada pedido son de un determinado sistema lineal en los coeficientes racionales, así que si alguno existe una solución racional que uno hace. Y por el teorema de la Le y de Murakami, hasta equivalencia de trenzado monoidal categorías, el resultado de esta construcción no depende de la elección de asociador.)
A continuación, se define una nueva categoría de $\mathcal S[[\hbar]]$. Los objetos son los mismos que los de $\mathcal S$, e $\hom_{\mathcal S[[\hbar]]}(V,W) = \hom_{\mathcal S}(V,W)[[\hbar]]$ (poder formal de la serie de morfismos) con la composición dada simplemente por la composición en $\mathcal S$ extendida $\hbar$-lineal (y adicly), es decir, siguiendo la regla para la multiplicación de poder formal de la serie.
Por otra parte, dar $\mathcal S[[\hbar]]$ el producto tensor heredado de $\mathcal S$. Sin embargo, dar es no trivial de la asociatividad y el trenzado de las restricciones. Es decir, definir el asociador por $a_{123} = \Phi(\hbar t_{12}, \hbar t_{23})$$c = \sigma \exp(\hbar t / 2) = \exp(\hbar t / 2)\sigma$. Los axiomas para la Drinfeld asociador $\Phi$ implica que $\mathcal S[[\hbar]]$ es un (débil) trenzado de categoría monoidal.
La cuantificación de quasitriangular Mentira bialgebras
De nuevo vamos a empezar con $t$ una ecuación cuadrática Casimir. Pero supongamos que un poco más: supongamos que $t$ es la simetrización de algún elemento $r\in \mathfrak g^{\otimes 2}$ la satisfacción de los (muy sobre-determinado) clásica de Yang-Baxter ecuación (CYBE). Es decir, vamos a $\beta: \mathfrak g^{\otimes 2} \to \mathfrak g$ ser la Mentira de soporte, y el uso de la evidente índice de notación. A continuación, el CYBE dice: $$ \bigl[(\beta\_{13} \otimes {\rm id}\_2 \otimes {\rm id}\_4) + ({\rm id}\_1 \otimes \beta\_{23} \otimes {\rm id}_4) + ({\rm id}\_1 \otimes {\rm id}\_3 \otimes \beta\_{24}) \bigr] (r\_{12}\otimes r\_{34}) = 0$$ Una selección de $r$ es un quasitriangular estructura en $\mathfrak g$. Considerar el mapa de $\delta: \mathfrak g \to \mathfrak g^{\wedge 2}$ dado por antisymmetrizing la salida de $x \mapsto {\rm ad}_x(r)$ donde ${\rm ad}_x$ es la acción de $x\in \mathfrak g$$\mathfrak g^{\otimes 2}$. Se desprende de la CYBE y el hecho de que $t$ $\mathfrak g$- invariante que $\delta$ satisface la co-Jacobi de identidad.
Entonces por el teorema de Etingof y Kazhdan, los datos de $(\mathfrak g,r)$ como la de arriba, junto con una selección de Drinfeld asociador $\Phi$ determina una (no conmutativa, noncocommutative) álgebra de Hopf $\mathcal U_\hbar \mathfrak g$ (por encima de la potencia de la serie en $\hbar$) y un trivial de trenzado en la (fuertemente asociativo monoidal) categoría de (finitely generado topológicamente gratis) $\mathcal U_\hbar\mathfrak g$-módulos. Como álgebra, $\mathcal U_\hbar\mathfrak g \cong \mathcal U\mathfrak g[[\hbar]]$, creo, así como de una categoría (aunque tal vez no como un trenzado de categoría monoidal?), $\mathcal S[[\hbar]] \cong (\mathcal U_\hbar\mathfrak g)$-mod.
Preguntas
Las dos construcciones anteriores son similares: ambos comienzan con una Mentira de álgebra y un Casimir, y ambos terminan con trenzado monoidal categorías. Pero no es la misma. La primera construcción se había deformar el asociador para hacer todo el trabajo, mientras que en el segundo el asociador es lo que me llama fuertemente asociativo: la categoría integra de forma natural en la categoría de espacios vectoriales, y el asociador es el mismo como esencialmente trivial asociador de ahí que todos sabemos y el amor. (Así que es casi "estrictamente asociativo"; "fuerte" parece un buen antónimo de "débil".) Por otro lado, el segundo de la construcción requiere más datos: se requiere la elección de un clásico de $r$-matriz.
Así que: ¿cómo son estas dos construcciones? Por ejemplo, supongamos que se ejecuta la primera construcción, pero sucede saber que $t$ proviene de una $r$-matriz. Hace esto me dice nada más acerca de la estructura de $\mathcal S[[\hbar]]$? Por el contrario, si me tome la primera a la construcción, y luego hacer algo de Mac Lane-estilo strictifying, de lo cerca que se puede llegar a la segunda construcción?
