Cómo mostrar que si $ad - bc = \pm 1$,$(a+b, c+d) = 1$.

Question

Estoy en un número de la teoría del curso y yo estoy luchando para demostrar de esta forma.

Mi idea era utilizar la Identidad de Bezout, pero no puedo ver la aplicación clara.

Gracias por la ayuda,

Neurax

Answer 1

para los números enteros $r,s$ si usted puede encontrar $x,y\in \mathbb Z$ tal que $xr+ys=\pm 1$$gcd(r,s)=1$. Así:

$d(a+b)-b(c+d)=da+db-bd-bc=\pm 1$.

Answer 2

Simplificar $d(a+b)-b(c+d)$.

Tenga en cuenta que nosotros no necesitamos el "duro" de la dirección de Bezout, sólo la dirección fácil.

Answer 3

Sugerencia $\,\ \begin{eqnarray}\rm\ d\mid a\!+\!b\\ \rm d\mid c\!+\!d\end{eqnarray}\ \Rightarrow\: \rm mod\ d\!:\, $ $\begin{eqnarray}\rm b\equiv -a\\ \rm c\equiv -d\end{eqnarray}\rm \ \Rightarrow\:bc\equiv ad = bc\pm1\:\Rightarrow\:0\equiv \pm1,\ $ es decir, $\rm\ d\mid \pm1 $

Alternativamente, $ $ deje $\rm\ x,y = 1 = \Delta\ $ por debajo de $\:\Rightarrow$ $\rm\ gcd(a\!+\!b,c\!+\!d) = gcd(X,Y)\mid \Delta\, gcd(x,y) = 1.$

$\rm{\bf Lemma}\quad\ \ \begin{bmatrix} X \\\\ \rm Y\end{bmatrix}\ =\ \begin{bmatrix} a & \rm b \\\\ \rm c & \rm d \end{bmatrix}\ \begin{bmatrix} x \\\\ \rm y \end{bmatrix} \ \ \ \Rightarrow\ \ \ gcd(X,Y)\mid \Delta\,gcd(x,y) ,\quad \Delta\ =\ ad\!-\!bc $

$\rm \begin{array}{}{\bf Proof} & \rm \ d\ X - b\, Y\ =\ \Delta\,x \\ \rm By\ Cramer\ \ \ \ & \\ &\rm\!\!\! {-}c\ X + a\, Y\ =\ \Delta\,y \end{array}\quad tan\quad \Bigg\lbrace\begin{eqnarray} d=gcd(X,Y)\mid X,Y\ \Rightarrow\ d\mid \Delta\:x,\:\Delta\:y\\ \\ \rm \Rightarrow\ d\ |\ gcd(\Delta\:x,\Delta\:y)\, =\, \Delta\ gcd(x,y)\end{eqnarray}$