Encuentre los valores de $\cos(\alpha+\beta) $ si las raíces de una ecuación están dadas en términos de tan

Question

Se da que $ \tan\frac{\alpha}{2} $ y $ \tan\frac{\beta}{2} $ son los ceros de la ecuación $ 8x^2-26x+15=0$ entonces encuentre el valor de $\cos(\alpha+\beta$ ).

He intentado resolver esto pero no sé si mi solución es correcta.Puede alguien verificar esto.

suma de raíces = $ \frac{-b}{a}$

así que $ \tan\frac{\alpha}{2} + \tan\frac{\beta}{2} $ = $ \frac{26}{8}$

producto de las raíces = $ \frac{c}{a}$

así que $ \tan\frac{\alpha}{2} $ . $ \tan\frac{\beta}{2} $ = $ \frac{15}{8}$

$$ \tan(\frac{\alpha+\beta}{2} ) = \frac{\tan\frac{\alpha}{2}+\tan\frac{\beta}{2}}{1-\tan\frac{\alpha}{2}.\tan\frac{\beta}{2}}$$

Poniendo los valores :-

$$ \tan(\frac{\alpha+\beta}{2} ) = -\frac{26}{7}$$

$$ \sec^2(\frac{\alpha+\beta}{2}) = \tan^2(\frac{\alpha+\beta}{2} ) + 1 $$

$$ \sec^2(\frac{\alpha+\beta}{2}) = \frac{(-26)^2 + 7^2}{7^2} $$

$$ \cos^2{\frac{\alpha+\beta}{2}} = \frac{7^2}{25^2}$$

$$ \frac{\cos(\alpha+\beta) + 1}{2} = \frac{49}{725}$$

$$ \cos(\alpha+\beta) = \frac{-627}{725}$$

Answer 1

Desde entonces, $\tan\frac{\alpha}{2}$ & $\tan\frac{\beta}{2}$ son raíces de la ecuación $8x^2-26x+15=0$ Por lo tanto, tenemos $$\tan\frac{\alpha}{2}+\tan\frac{\beta}{2}=\frac{-(-26)}{8}=\frac{13}{4}$$ $$\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}=\frac{15}{8}$$ $$\implies \tan \left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)=\frac{\tan\frac{\alpha}{2}+\tan\frac{\beta}{2}}{1-\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}}$$ $$\implies \tan \left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)=\frac{\frac{13}{4}}{1-\frac{15}{8}}$$ $$\implies \color{red}{\tan \left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)=-\frac{26}{7}}$$
Ahora, tenemos $$\cos (\alpha+\beta)=\cos2\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)$$ $$=\frac{1-\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)}$$ $$=\frac{1-\left(\frac{-26}{7}\right)^2}{1+\left(\frac{-26}{7}\right)^2}$$ $$\implies \color{blue}{\cos(\alpha+\beta)=-\frac{627}{725}}$$ La respuesta anterior es la misma que has obtenido. Su respuesta es correcta.

Answer 2

Sí, tu respuesta y método, todos son correctos. Sólo $\tan(\frac{a+b}{2})=\frac{\tan(\frac a2)+\tan(\frac b2)}{1-\tan(\frac a2)\cdot\tan(\frac b2)}$ . Pero sus valores son correctos. Y esta fue la ligera corrección.