Es una de las razones por las que sabemos $ y = e^{2x}$ ¿es siempre positivo que sea un cuadrado?

Question

Una de mis tareas de Cálculo pregunta cómo podemos saber que $ y = e^{2x}$ es siempre positivo.

Las opciones dadas son:

1. Es una función exponencial con una base $> 0$ .

2. Es un cuadrado.

3. Su derivada es siempre positiva.

Dije que la única razón era la 1. Pero me dijeron que la 2 también es una razón válida dado que $y = e^{2x} = (e^x)^2$ es un cuadrado.

Si $e$ fueran negativas, sin embargo, ¿no sería la función negativa en $x = 1/2$ ?

¿Es la 2 una razón válida para concluir que $e^{2x}$ es siempre positivo?

Answer 1

El punto 2 es válido por sí mismo para demostrar que $e^{2x}$ (y, de hecho, $e^x$ ) son no negativo .

El hecho de que una exponencial sea no negativa en todas partes está inextricablemente ligado al hecho de que cuando duplicamos su argumento, ¡su valor se eleva al cuadrado!

Sin embargo, el punto 2 contiene un supuesto implícito: que $e^x$ , de verdad $x$ es un valor real (positivo o negativo, pero no complejo). Hay que indicarlo.

Supongamos que alguna función de valor real $f$ tiene la propiedad de que $f(2x) = {f(x)}^2$ sobre todos los reales $x$ . Puede $f(x)$ ¿es negativo? Claramente no, y es fácil de ver si reescribimos la relación como $f(x) = {f(x/2)}^2$ . Para todos los $x$ , $f(x)$ es el cuadrado de algún número real, por lo que debe ser no negativo.

La función $e^x$ es fácilmente identificable como tal $f$ .

Además, si tenemos una función $g$ tal que $g(x) = f(2x)$ entonces $g$ es sólo $f$ se redujo en un factor de dos, horizontalmente. Si $f$ es no negativo (o positivo), entonces $g$ también lo es, y viceversa, ya que la escala horizontal no tiene efecto alguno.

El punto 2, sin embargo, requiere argumentos adicionales a ese $e^x$ nunca es cero, y por lo tanto es positivo.

Answer 2

Asumiendo un número $x$ es positivo si $sgn(x) \ge 0$ donde $sgn(x)$ es el función del signo Para los números complejos hay un equivalente definición sería

$$ \operatorname{csgn}(z)= \begin{cases} 1 & \text{if } \Re(z) > 0, \\ -1 & \text{if } \Re(z) < 0, \\ sgn(\Im(z)) & \text{if } \Re(z) = 0 \end{cases} $$

Considere la expresión $$y = e^{2x}$$ Dejemos que $x=0+i$ , por lo que tenemos $$\operatorname{csgn}(y) = \operatorname{csgn}(e^{2x})=\operatorname{csgn}(e^{2i})=-1$$

Answer 3

No, 2) no lo es, porque ser un cuadrado no excluye la posibilidad de que sea cero en alguna parte. Pero es suficiente para garantizar que no sea negativo.