Es una de las razones por las que sabemos $ y = e^{2x}$ ¿es siempre positivo que sea un cuadrado?

Question

Una de mis tareas de Cálculo pregunta cómo podemos saber que $ y = e^{2x}$ es siempre positivo.

Las opciones dadas son:

1. Es una función exponencial con una base $> 0$ .

2. Es un cuadrado.

3. Su derivada es siempre positiva.

Dije que la única razón era la 1. Pero me dijeron que la 2 también es una razón válida dado que $y = e^{2x} = (e^x)^2$ es un cuadrado.

Si $e$ fueran negativas, sin embargo, ¿no sería la función negativa en $x = 1/2$ ?

¿Es la 2 una razón válida para concluir que $e^{2x}$ es siempre positivo?

Answer 1

La razón es (1): cualquier número real positivo a cualquier el poder es positivo . ¿Por qué? Definición y/o razón para definir logaritmos y demás (no puedo decir lo que sabes y lo que no...)

Answer 2

Debes fijarte bien en si tu profesor quiere decir "positivo" o "no negativo". Un cuadrado (de un número real) no puede ser negativo, pero puede ser cero.

Answer 3

La función $s^x$ no está definido (entre los reales) a menos que $s\ge 0$ .

Para un $s<0$ El término $(s^{1/2})^2$ simplemente no está definido (entre los reales).

Answer 4

En efecto, $e^{2x} = (e^x)^2$ es positivo porque es un cuadrado de $e^x$ que es positivo.

O $e^{2x} = (e^2)^x$ es una función positiva porque la base es positiva.

Yo me decantaría por (1) ya que con (2) también hay que tener en cuenta que $e^x$ es positivo.

Como nota al margen y ya que está algo relacionado: Hay que tener cuidado con los números de base negativa. Con números de base positiva la exponencial siempre está definida y se obtiene un número real. Por supuesto, podemos dar sentido a $(-1)^7$ que es negativo o incluso $(-1)^{\frac{1}{2}} = i$ pero no obtenemos necesariamente un número real y por eso decir que es positivo no tiene sentido. Además, ¿cómo definirías en general una función $s^{x}$ para cualquier $s$ ? ¿Qué es, por ejemplo $(-1)^\pi$ ?

Las reglas habituales de los exponentes incluso se estropean. Véase, por ejemplo $$ 1 = (1^2)^{\frac{1}{2}} = ((-1)^2)^{\frac{1}{2}} = ((-1)^{\frac{1}{2}})^2 = i^2 = -1. $$ ¿Qué ha fallado? Vea esto Artículo de Wikipedia para saber más sobre la exponenciación.

Answer 5

Sugerencia Si la opción 2. es cierta, ¿qué podemos decir de

$$(-1)^{1}=(-1)^{2\times\frac{1}{2}}=i^2?$$