Contigüidad de variedades con mayor codimension

Question

Para $X \subseteq \mathbb{P}^n$ un suave hipersuperficie, la canónica divisor $K_X$ puede ser calculada como $$ K_X = (K_{\mathbb{P}^n} + X)|_X. $$ Hay una fórmula similar donde $X$ es de mayor codimension?

Si es necesario, podemos suponer $X$ a ser una superficie sobre los números complejos, en particular, se trata de un complejo de la analítica de colector.

Gracias!

Answer 1

La contigüidad de la fórmula es muy general, agradable, resultado válido para cualquier complejo submanifold $X\subset Z$ de codimension $r$ de cualquier complejo colector de $Z$ (projectivity es irrelevante).
Calcula el canónica bundle $K_X=\wedge ^{dim X}(TX)^*$ de la submanifold $X$ y lee $$ K_X=K_Z|X\otimes \wedge^r N $$ where $N=N_Z(X)$ is the normal bundle of $X$ in $Z$, defined by $N=\frac{Z|X}{TX}$.

Ah, que va a decir, un hermoso, muy general teorema, debe ser muy difícil de probar, que no debe?
No, en absoluto! Como es sorprendentemente a menudo el caso, el teorema se reduce a (multi)álgebra lineal: cualquier secuencia exacta de los espacios vectoriales $0\to F\to E\to Q\to$ da lugar a una canónica de isomorfismo entre los factores determinantes $$det E=det F\otimes det Q$$ ( where $det E=\wedge ^{dim E}E$, etc.)
Podemos globalizar esta fórmula para el vector de paquetes, aplicarlo a la secuencia exacta $$0\to N^*\to T^*Z|X\to T^*X\to 0$$ (which is the dual of the sequence defining the normal bundle) and obtain $$ K_Z|X=\wedge^rN^*\otimes K_X $$ Tensoring both sides with $\cuña^r N$, the dual line bundle to $\wedge^rN^*$, then immediately gives the promised adjunction formula $K_X=K_Z|X\otimes \wedge^r$N.
Et voilà!

Answer 2

El principio de contigüidad es mucho más general que una fórmula canónica de la clase, se mantiene en el nivel del total de las clases de Chern de cualquier submanifold $X$ de un complejo colector de $Z$ (canónica de la clase es simplemente el negativo de la primera clase de Chern de $X$). Más precisamente, la más general de la forma de contigüidad en el nivel de las clases de Chern es $$c(X)=c(Z)/c(N),$$ where $N$ is the normal bundle to $X$ in $Z$ (this follows from the exact sequence of vector bundles in Georges' answer along with the fact that Chern classes are multiplicative with respect to exact sequences). In the special case $X\subconjunto \mathbb{P}^n$ is a complete intersection (i.e., $X$ is the zero locus of the system $F_1=\cdots =F_k=0$ and $X$ has codimension $k$), adjunction easily yields a nice formula for the total Chern class of $X$, from which can you can extract (among other invariants) not only the canonical class of $X$ but it's topological Euler characteristic as well. In particular (if you know a little bit about Chern classes, or if not see chapter 3 of Fulton's "Intersection theory"), if we denote the class of a hyperplane in $\mathbb{P}^n$ by $H$ and the degree of the hypersurface $F_i=0$ by $d_i$, then $c(\mathbb{P}^n)=(1+H)^{n+1}$ and $c(N)=(1+d_1H)\cdots(1+d_kH)$, thus $$c(X)=\frac{(1+H)^{n+1}}{(1+d_1H)\cdots(1+d_kH)}\cdot d_1\cdots d_kH^k$$ (we multiply by $d_1\cdots d_kH^k$ as this is the class of $X$ in $\mathbb{P}^n$). The $i$th Chern class of $X$ is then just the term of degree $k+i$ in the power series expansion of $\frac{(1+H)^{n+1}}{(1+d_1H)\cdots(1+d_kH)}\cdot d_1\cdots d_kH^k$. In particular, $K_X=-(n+1-d_1-\cdots - d_k)H^{k+1}$ and the topological Euler characteristic is the degree of the $(n-k)$th Chern class of $X$, namely the coefficient of $H^n$ in the power series expansion of $c(X)$.

Como he dicho antes, todo esto se puede encontrar en mucho mayor detalle en el capítulo 3 de Fulton del libro.