Para la práctica, estoy integrando,
$$\int \frac{x}{3x^2 + 8x -3}dx$$
Por lo tanto, puedo entonces factorizarlo como,
$$\int \frac{x}{(3x-1)(x+3)}dx$$
Por fracciones parciales, descompongo
$$\frac{x}{(3x-1)(x+3)}= \frac{A}{3x-1} + \frac{B}{x+3}$$
Para encontrar $A$ multiplico ambos lados por $3x-1$ lo que da
$$\frac{x(3x-1)}{(3x-1)(x+3)} = \frac{A(3x-1)}{3x-1} + \frac{B(3x-1)}{x+3}$$
Por lo tanto, tenemos que
$$\frac{x}{(x+3)} = A + \frac{B(3x-1)}{x+3}$$
Dejar $3x-1=0$ tenemos que $x=\frac{1}{3}$ Entonces
$$\frac{\frac{1}{3}}{(\frac{1}{3}+3)} = A$$
Así, tenemos que $A=\frac{1}{10}$ . Para determinar $B$ multiplicamos ambos lados por $x+3$ y recibir, como un proceso similar al anterior,
$$\frac{x(x+3)}{(3x-1)(x+3)} = \frac{A(x+3)}{3x-1} + \frac{B(x+3)}{x+3}$$
Entonces,
$$\frac{x}{3x-1} = \frac{A(x+3)}{3x-1} + B$$
Por lo tanto, si dejamos que $x+3=0$ tenemos entonces que $x=-3$ y así,
$$\frac{-3}{3(-3)-1}=B$$
Entonces, tenemos que $B=\frac{3}{10}$ . Así, nuestra integral original puede escribirse como,
$$\int \frac{x}{(3x-1)(x+3)}dx = \int \frac{1}{10(3x-1)} + \frac{3}{10(x+3)} dx$$
Podemos, dividiendo la integral encontrar,
$$\int \frac{x}{(3x-1)(x+3)}dx = \frac{1}{10} \int \frac{1}{3x-1} dx + \frac{3}{10} \int \frac{1}{x+3} dx$$
Por lo tanto, concluimos que,
$$\int \frac{x}{3x^2 + 8x -3}dx = \frac{\ln|3x-1|}{30} + \frac{3 \ln|x+3|}{10} + C$$
Wolframalpha muestra que, la respuesta es:
$$\frac{1}{30}(\ln(1-3x)+ 9 \ln(3+x)) +C$$
¿Qué estoy haciendo mal? ¿Me he dejado un signo negativo en algún sitio?
