La convergencia de $\sqrt[n]{x^n+y^n}$ ($x, y > 0$)

Question

Cómo puedo probar la convergencia de la secuencia de $b_n=\sqrt[n]{x^n+y^n}$ donde $x, y > 0$?

Puedo dividir en dos casos?

Caso 1: $x > y$.

$$b_n=\sqrt[n]{x^n+y^n} < \sqrt[n]{x^n+x^n} = \sqrt[n]{2 \cdot x^n}=x \cdot \sqrt[n]{2}$$

Caso 2: $x < y$.

$$b_n=\sqrt[n]{x^n+y^n} < \sqrt[n]{y^n+y^n} = \sqrt[n]{2 \cdot y^n}=y \cdot \sqrt[n]{2}$$

Resultado: ¿la secuencia converge a $\max(x,y)$?

Answer 1

Su propuesta de la ruptura de los casos es el de la derecha. Me gustaría manejar los detalles de manera diferente. Supongamos por ejemplo que $x<y$. Utilizamos el hecho de que $$\sqrt[n]{x^n+y^n}=y\sqrt[n]{1+\left(\frac{x}{y}\right)^n}.$$

Desde $\dfrac{x}{y}<1$, está claro que $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(\frac{x}{y}\right)^n=0$.

Así que si $x<y$, el límite es de $y$. Del mismo modo, si $y<x$, el límite es de $x$. Además, hay que tener cuidado de que el caso de $y=x$. A continuación, queremos calcular el $\displaystyle\lim_{n\to\infty} x\sqrt[n]{2}$. Como $n$ se hace grande, $\sqrt[n]{2}$ enfoques $1$.

La respuesta es, por tanto, siempre, como conjetura, $\max(x,y)$.

Comentario: también podemos manejar el problema sin romper los casos. Tenga en cuenta que $$\max(x,y) <\sqrt[n]{x^n+y^n} \le \sqrt[n]{2}\max(x,y).$$ Entonces podemos obtener la deseada límite de fórmula directamente por "apretar", ya $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1$. Este argumento es más elegante, pero tal vez menos natural de la división de procedimiento que se utilizó en el post principal. La intuición fue que si $x<y$, luego de un gran $n$, el plazo $x^n$ es insignificante en comparación con $y^n$.

Answer 2

Solo para complementar lo que se ha dicho, tenga en cuenta que estos argumentos por lo general el rendimiento de la equivalencia de las $L^n$ normas y $sup$ norma para un número finito de dimensiones de espacio vectorial.

Es decir, para $\boldsymbol{x}=(x_1,\ldots,x_d)\in\mathbb{R}^d$, $d\geq 1$, es habitual considerar las normas $\|\boldsymbol{x}\|_n=(\sum_{i=1}^d|x_i|^n)^{1/n}$ cualquier $n\geq 1$$\|\boldsymbol{x}\|_{\infty}=\sup_{i=1}^d|x_i|$.

A continuación, para todos $n\geq 1$, $\|\boldsymbol{x}\|_\infty\leq \|\boldsymbol{x}\|_n \leq d^{1/n}\|\boldsymbol{x}\|_n$.

Esto además da para cualquier $d\geq 1$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}(\sum_{i=1}^d|x_i|^n)^{1/n} = \lim_{n\rightarrow\infty}\|\boldsymbol{x}\|_n = \|\boldsymbol x\|_\infty=\max_{i=1}^d|x_i|,$$ su caso ser $d=2$.