He leído que el producto cartesiano con el producto de la topología de una familia de totalmente desconectado espacios topológicos es totalmente desconectada, demasiado. Es eso cierto?
¿Cómo son los componentes conectados en el producto cartesiano con el producto de la topología definida?
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Gracias.
Sí, es cierto. Deje $X=\prod_{\alpha\in A}X_\alpha$, donde cada una de las $X_\alpha$ está totalmente desconectado. Para mostrar que $X$ está totalmente desconectado, usted sólo tiene que demostrar que si $x$ $y$ son distintos puntos de $X$, entonces no es un clopen set $U$ tal que $x\in U$$y\notin U$: eso es exactamente lo que significa decir que la $x$ $y$ están en los diferentes componentes de $X$.
Supongamos, entonces, que el $x=\langle x_\alpha:\alpha\in A\rangle,y=\langle y_\alpha:\alpha\in A\rangle\in X$, e $x\ne y$. A continuación, hay algunos $\alpha\in A$ tal que $x_\alpha\ne y_\alpha$. $X_\alpha$ es totalmente desconectada, así que hay un clopen set $U$ $X_\alpha$ tal que $x_\alpha\in U$$y_\alpha\notin U$. Deje $V=\pi_\alpha^{-1}[U]$ donde $\pi_\alpha:X\to X_\alpha$ es lo habitual en la proyección del mapa y, a continuación, $V$ es un clopen establecido en $X$, $x\in V$, y $y\notin V$.
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