Lo que está mal con mi permutación de la lógica?

Question

La pregunta:

En cuántas formas de las letras de la palabra arco iris ser organizado, que está siempre antes que yo, y yo siempre antes de la O.

Me dio una oportunidad y pensé a continuación:

Las letras a, I y O debe aparecer en ese orden. Luego hay cuatro lugares en los que todos los restantes cuatro letras pueden aparecer. Significa que hay un total de 16 plazas: $$*_1*_2*_3*_4\quad A\quad*_5*_6*_7*_8\quad I\quad*_9*_{10}*_{11}*_{12}\quad O \quad *_{13}*_{14}*_{15}*_{16}$$ De estos 16 lugares restantes, la carta puede aparecer en cualquiera de los 4 lugares, dando total $^{16}P_4 = 43680$ posibles acuerdos.

Pero la respuesta es sólo 840 con la siguiente explicación:

Todas las 7 letras de la palabra arco iris pueden ser organizadas en 7! formas y 3 letras (A,I,O) pueden ser agrupados en 3! maneras. Pero la condición es satisfecha por sólo 1 de los 6 caminos. Por lo tanto se requiere el número de arreglos $$=\frac{7!}{3!} = 840$$

Entonces, ¿qué hay de malo con mi lógica? Me debe contar ciertas disposiciones varias veces o que mi lógica debe ser la culpa en general. Pero, ¿qué es eso exactamente?

Answer 1

Para la disposición del arco iris han contado cuatro lugares de la R puede ser, cuatro lugares de la W puede ser, y seis maneras de poner la NOTA en que el orden entre la I y la O, por lo que han contado es $96$ veces. Otros arreglos se han contado varias veces.

Answer 2

Ross Millikan ya ha explicado el error en su razonamiento. He aquí una versión correcta del tipo de cálculo que se estaban tratando de hacer. Hay $\binom73$ formas de elegir los $3$ posiciones de las letras a, I, a y O. El resto de $4$ cartas puede llenar el resto de $4$ ranuras en cualquier orden, por lo que puede ser insertado en $4!$ maneras. Que le da un total de

$$4!\binom73=\frac{7!}{3!}=840$$

los arreglos.

Answer 3

Tu error está aquí:

De estos 16 lugares restantes letra puede aparecer en cualquier 4 lugares, dando total $^{16}P_4=43680$ posibles acuerdos.

El 43680 colocaciones de letras en cuatro de las 16 posiciones no ceder diferentes disposiciones de las letras. Por ejemplo, un arreglo es el arco iris. Es la letra R en la posición 1, 2, 3, o 4? Contaba cada una de esas ubicaciones por separado.

Answer 4

Que sería del todo correcto si realmente existían 16 lugares ( 19 en total ) y los lugares a los que no se llena con letras estaban llenas de espacios para que

R***A****I*N*BO**W*

era realmente distinta de la

*R**A****I*N*BO***W ( Me ha utilizado * debido a que los espacios son difíciles de contar )

lo $ ^{16} P _4$ que cuenta es el número de cuatro-tuplas con la no-repetición de los elementos de la 1 a la 16. Usted podría tener el primer elemento representa la posición ( en su esquema de las 16 posiciones ) de la letra "R" y las otras tres las posiciones de "N", "B" y "C" respectivamente.

de modo que R***A****I*N*BO**W* sería representado como (1, 10, 12, 15)

y *R**A****I*N*BO***W sería representado como (2, 10, 12, 16) .

Answer 5

Creo que el más cercano método para su tentativa original es el siguiente: después de poner el fijo letras a, I y O, considere la posibilidad de una carta adicional en un momento.

(1) Tenemos: "I O ". R puede ser colocado en cualquiera de los cuatro lugares.

(2) ahora Tenemos cuatro colocado letras, por ejemplo, " a R I O ". En cualquier caso, hemos de cinco lugares en los que la siguiente letra N puede ser colocado.

(3) en forma Similar, cuando ponemos la B, hay 6 opciones de donde colocarlo entre los actuales 5 cartas.

(4) Y, finalmente, la última letra W puede ser colocado entre el 6 letras existentes en cualquiera de los 7 lugares.

Cada combinación de decisiones que conduzcan a un resultado diferente, como cualquiera de los dos resultados deberá diferencian por el orden de al menos un par de letras.

Por lo que el número total de pedidos es: 4 * 5 * 6 * 7 = 840