Descuidado la notación de las ecuaciones diferenciales

Question

¿Por qué a menudo se utiliza la siguiente notación para la ecuación diferencial:

$$ y'=f(t)y$$ (este es sólo un ejemplo) ?

Lo que me molesta con esta notación, que he encontrado en un sinnúmero de libros de texto es, que se mezcla en esta notación de los símbolos que denotan funciones ($y',y$) con aquellos que denotan los valores de la función($f(t)$). No debería el anterior escribirse como $$y'=f \cdot y$$ (where the multiplication is pointwise understood) or as $$\forall t\in I:\ y'(t)=f(t)\cdot y(t)$$where $I$ es, por ejemplo, un intervalo de - significado sólo en el nivel de vinculación de las funciones con las funciones o sólo en el nivel de vinculación de las funciones de valores con funciones de valores ?

¿Por qué, que en el tema de ecuaciones diferenciales descuidado (incluso las malas/confuso) notación es más la norma que la excepción ?

Lado de la cuestión: En un curso que he leído hace un tiempo, alguien se define una función de $t(y(x))=y(x)+y'(x)$. Mi pregunta es: ¿ésta Es la correcta?

Porque no se puede definir una función como esa; uno define directamente una función de $u$ $u(x)=y(x)+y'(x)$ o sea que uno define el $t$ y la compone $t$$y$. Pero en el último caso (que era como uno que estaba destinado en el curso) ¿cómo debería de $t$ look ? Uno no se puede definir una función de $t:I\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, por lo que yo sé, que $t(y(x))=y(x)+y'(x)$ a todos los funciones diferenciables $y$.

Answer 1

Mi respuesta, en breve, es la que está a la derecha en todos los matemáticos de la cuenta.

En el primer ejemplo, si $y$ $f$ son funciones definidas en $\mathbb R$ o sobre los subconjuntos de a $\mathbb R$, para escribir $y'=f(t)y$ es absurdo. Uno debe escribir bien que $y'=fy$ (relación entre dos funciones, a saber,$y'$$fy$) o $y'(t)=f(t)y(t)$ (relación entre dos números reales, es decir,$y'(t)$$y(t)f(t)$) por cada adecuados $t$.

Por lo tanto, decir algo como $f(t)$ es una función de $t$ es literalmente sin sentido desde $f(t)$ es un número y no una función.

Algunos lo siento consecuencias de esta confusión se manifiestan en el segundo ejemplo (como se dio cuenta), ya que la expresión $t(y(x))=y(x)+y'(x)$ sólo puede significar que $y$, $y'$ y $t$ son funciones y que $t$ se define como folllows. Para cada $z$ en el conjunto de imágenes de la función $y$, o bien no existe un único punto de $x$ tal que $y(x)=z$ y, a continuación, se define la imagen de la función $t$ en el punto de $z$ $t(z)=z+y'(x)$ para este singular $x$, o hay varios puntos de $x$ tal que $z=y(x)$ pero todas estas tienen la misma imagen por $y'$ por lo tanto se puede utilizar cualquiera de ellos para definir $t(z)$. Todo esto se rompe si $y'(x_1)\ne y'(x_2)$ para dos puntos de $x_1$ $x_2$ tal que $y(x_1)=y(x_2)$.

La única cuenta en el que difiero con usted, o al menos, en los que me piden suspender mi aprobación, es cuando escribe que en el tema de ecuaciones diferenciales descuidado (incluso las malas/confuso) notación es más la norma que la excepción. Esta definición es demasiado amplia y el barrido de una declaración para mi gusto, a menos que usted puede copia de seguridad con alguna evidencia sólida (y si intenta hacerlo (es decir, reunir la evidencia), pronto se dará cuenta de que el tema de ecuaciones diferenciales es tratada en muy diferentes niveles de rigor, dependiendo de la intención de la audiencia).