Una simple expresión matemática para el periódico secuencia $(1, -2, -1, 2, 1, -2, -1, 2,\dots)$

Question

La secuencia es sólo $S_n=1, -2, -1, 2$ repite indefinidamente. Lo mejor que puedo hacer es:

$$S_n= \frac{(i - 2)\,i^n}{2i} + \frac{(i+2)\,(-i)^n}{2i}$$

where $i$ is the imaginary unit. In fact, this expression is where the sequence comes from. Can it be simplified, like using $(-1)^n$ for an alternating sequence of $1$ and $-1$? Estos valores aparecen como parte de una fórmula. En la actualidad, simplemente estoy usando un más computacional expresión: V(n) = the (n modulo 4)'th element of [+1,-2,-1,+2], pero esto es bastante chapucero.

Answer 1

Ampliando mi comentario:

$$\cos(\pi n/2) -2\sin(\pi n/2)$$

Answer 2

Por el OP de la solicitud, dada la secuencia, $$\alpha_n=1,-2,-1,2,1,-2,-1,1,\dots$$ y $\alpha_0=1$, vamos a generar es el uso de $(-1)^n$ y bien definido secuencias de enteros. El unsigned versión es fácil de hacer, $$\beta_n = \tfrac{3-(-1)^n}2=1,2,1,2,1,2,1,2,\dots$$ Por lo que el problema realmente es generar las señales, $$U_n = 1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,\dots$$ y, afortunadamente, respondió por este post y este, $$U_n =(-1)^{n(n+1)/2} = \sqrt{2}\cos\tfrac{(2n+1)\pi}4$$

$\color{blue}{Update:}$ También tenemos la más exótica, $$U_n = (-1)^{T_n}$$ con tribonacci números de$T_n$, $$T_n=\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-k-1}\tbinom{n-k-1}{j}\tbinom{j}{k-j}=\color{blue}0,1, 1, \color{blue}{2, 4}, 7, 13, \color{blue}{24, 44}, 81, 149, \color{blue}{274, 504},\dots$$ y $T_0=0$.

Por el contrario, buscamos, $$V_n = \tfrac{2n+1-(-1)^n}4= 0,1,1,2,2,3,3,4,\dots$$ que este post ha considerado. Entonces nos da tres maneras de formar a$\alpha_n$,

$$\alpha_n = \beta_n \,U_n=\tfrac{3-(-1)^n}2\,(-1)^{n(n+1)/2}\,=\,\tfrac{3-(-1)^n}2\,(-1)^{T_n}\tag1$$

y

$$\alpha_n = \beta_n \,(-1)^{V_n} = \tfrac{3-(-1)^n}2\,(-1)^{\frac14\big(2n+1-(-1)^n\big)}\tag2$$

P. S. Para una firma de secuencia con el período de $5$, ver aquí.

Answer 3

Esto se puede hacer fácilmente con transformada de Fourier Discreta. Observar que $$\operatorname{DFT}\begin{bmatrix}1\\-2\\-1\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1-2i \\ 0 \\ 1 + 2i \end{bmatrix}$$ El uso de la convención $$\operatorname{DFT}(\mathbf{v})(\xi) = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{x=0}^{n-1} \mathit{v}_x e^{2\pi i \xi x/n}$$ Por tanto, la inversa de la DFT da un periódico de interpolación para la secuencia: $$f(x) = \frac{1 - 2i}{2} e^{-2\pi i x/4} + \frac{1 + 2i}{2} e^{-6\pi i x/4}$$

Answer 4

Su expresión puede ser ligeramente simplificado si $n=2k$ tenemos, $$\frac{i^{2k}}{2i}[(i-2)+(2+i)]=i^{2k}=(-1)^k.$$ Si $n=2k+1$ tenemos, $$\frac{1}{2i}[(i-2)i^{2k+1}-(2+i)i^{2k+1}]=2(-1)^{k+1}.$$ Lo $$a_n= \begin{cases} (-1)^k & n=2k \\ \\ 2(-1)^{k+1} & n=2k+1 \end{casos} ,$$ , donde k es un entero.

Answer 5

Usted no puede escribir mediante una función que depende sólo de $(-1)^n$, debido a que dicha función toma sólo dos valores, y necesita cuatro. Por otro lado, una función de $i^n$ toma cuatro valores, así que lo que hizo está bien.