Mecánica cuántica en una matriz

Question

En la mecánica cuántica el estado de una partícula libre en un espacio tridimensional es $L^2(\mathbb R^3)$ más exactamente el espacio proyectivo de ese espacio de Hilbert. Aquí estoy ignorando los grados de libertad internos, de lo contrario sería $L^2(\mathbb R^3)\otimes S$ pero digamos que no es ese momento del mes. Los observables son operadores en ese espacio y la dinámica se describe mediante la ecuación de Schrodinger o de otras formas equivalentes. Si tenemos más partículas entonces es $L^2(\mathbb R^{3N})$ . Mi pregunta es: ¿hay algún ejemplo en el que se considere que un sistema con espacio de configuración es una variedad general $M$ , en lugar de $\mathbb R^3$ , digamos un sistema de partículas (una partícula) con algunas restricciones, de manera que el espacio de estados es $L^2(M)$ . Puede que haya razones físicas por las que esto no sea interesante y me interesaría conocerlas. Lo que me interesa es ver ejemplos específicos (o generales) elaborados en detalle. Por ejemplo, un sistema con un Hamiltoniano dado, donde uno puede encontrar explícitamente el espectro. O si eso es mucho pedir un ejemplo donde el sistema tenga propiedades muy diferentes al caso habitual. Digamos una partícula que vive en el medio plano superior con la geometría de Lobachevsky, ¡puede haber alguna conexión con la teoría de números! Soy consciente de que existe la teoría cuántica de campos en el espaciotiempo curvo, me interesa la mecánica cuántica.

Editar: Sólo una pequeña aclaración. Los ejemplos que me gustaría ver no tienen por qué proceder de la física real, pueden ser modelos de juguete o modelos matemáticos completamente irreales. Algo así como: toma tu colector favorito $M$ y suponer que este es el espacio en el que vivimos, qué podemos decir de la QM en él. La elección de $M$ no tiene nada que ver con la relatividad general. Como he dicho el semiplano superior es interesante o cocientes de él por grupos discretos interesantes o generalizaciones $\Gamma\backslash G(\mathbb R)/K$ o cualquier cosa. Las respuestas hasta ahora son interesantes. Espero ver más.

Answer 1

Supongamos que queremos hablar de la "versión mecánica cuántica" de un cuerpo rígido en rotación que no "va a ninguna parte" (clásicamente, el centro de masa es estacionario). Entonces probablemente consideraríamos estados en L^2(SO(3,R)).

Una regla general es que si se tiene un sistema descrito clásicamente y se quiere saber cuál es la "versión mecánica cuántica" del mismo, se deja que M sea la variedad de configuración (es decir, aquella variedad que describe la "posición" del sistema clásico y cuyo haz cotangente es la variedad del espacio de fase) y se toman los estados en L^2(M).

A efectos de la física real, esto no siempre es útil. Al fin y al cabo, los sistemas clásicos (probablemente) no existen, por lo que no tiene necesariamente un valor fundamental saber cómo pasar de "clásico a cuántico". Sin embargo, puede decir algo muy interesante sobre cómo surge el límite clásico y sobre la naturaleza de la decoherencia cuántica.

Answer 2

Según tengo entendido, hay esencialmente dos maneras de estudiar la mecánica cuántica en una variedad con cierta curvatura. En términos clásicos, estas dos formas conducen a la misma física, pero en un enfoque mecánico cuántico son distintas.

El primer enfoque consiste en pensar en una partícula que se mueve "libremente" por el espacio tridimensional, pero que está sujeta a fuerzas externas que la confinan en alguna submaniferia. La partícula vive, en cierto sentido, en un potencial de confinamiento que define el colector. El espacio de fase de la partícula es, de entrada, el espacio de fase habitual asociado al espacio tridimensional. Sin embargo, el potencial externo limita la partícula a algún subespacio de este espacio de fase.

El segundo enfoque consiste en trabajar con coordenadas generalizadas, como se hace en la mecánica lagrangiana. Las coordenadas de la partícula son entonces una parametrización del submanifold. Lo importante aquí es que no hay referencia a las coordenadas del espacio tridimensional. Un ejemplo es el péndulo, que puede describirse únicamente en términos del ángulo que forma el péndulo con el eje z.

Clásicamente no hay distinción entre los dos enfoques. Esto ya no es así cuando se pasa a la mecánica cuántica. Si se sigue el primer enfoque, utilizando algún potencial de confinamiento para mantener la partícula en el colector, se enfrentará al principio de incertidumbre que prohíbe la localización exacta de la partícula en el colector. Debido a este principio, la partícula nunca estará completamente protegida del espacio dimensional mayor. Sin embargo, se puede establecer sistemáticamente el procedimiento de cuantificación. La ventaja de este enfoque es que la cuantización funciona de la forma habitual (después de todo, se trabaja con coordenadas cartesianas). La resolución consiste esencialmente en dividir la función de onda y la ecuación de Schroedinger (E.S.) en contribuciones debidas al potencial de confinamiento y una especie de E.S. efectiva para la parte restante de la función de onda. La E.S. efectiva contiene entonces dos potenciales efectivos debidos al Curvatura media y Curvatura de Gauss del colector correspondiente.

Esta es una característica muy importante: un cilindro, por ejemplo, no tiene curvatura de Gauss, sino sólo una curvatura media. En la segunda aproximación encontrarás que no hay distinción entre dos cilindros con diferentes curvaturas medias, porque en esta aproximación sólo aparece la curvatura de Gauss. Tomemos por ejemplo una partícula que vive en una línea 1D. Sólo necesitas una coordenada para describir esta línea, así que para la segunda aproximación todos los sistemas son equivalentes. Pero en la primera aproximación hay que especificar de qué manera la línea está incrustada en el espacio de dimensión superior, y cómo la partícula está confinada en el espacio de dimensión inferior.

El segundo enfoque puede resultar más natural, si se piensa como un matemático. En este enfoque se requiere una forma de cuantificar las coordenadas generalizadas, que es mucho más sutil que la cuantificación ordinaria. El problema que afecta a este enfoque es el llamado problema de ordenación. Esencialmente se quiere sustituir la etiqueta de momento por un operador de derivación $p \rightarrow -i\hbar\nabla$ . Además, también está la elección de la parametrización de la variedad, que por supuesto no debería tener ningún efecto sobre la física subyacente (similar a la relatividad general). El problema de la ordenación consiste en que no se sabe a priori en qué sentido hay que ordenar las variables clásicas (conmutativas) antes de sustituirlas por sus homólogas mecánicas cuánticas (no conmutativas). Y lo que es peor, debido a la curvatura del espacio, el operador de la derivada también contiene cierta ambigüedad. Hay una ambigüedad en la elección de su operador de momento y su Hamiltoniano (y cualquier otra función). Muchos hamiltonianos de la mecánica cuántica tienen el mismo límite clásico, y el principio de equivalencia (es decir, la vinculación de la mecánica cuántica con la física clásica) no dicta cuál es el mejor. Por ejemplo, el operador cinético $\nabla^2$ puede definirse utilizando el laplaciano canónico o el operador de Laplace-Beltrami. Aun así, hay algunos trabajos que motivan un principio de equivalencia generalizado (véase, por ejemplo, Kleinert) y que dan lugar a un procedimiento de cuantificación consistente.

Ambos enfoques tienen características interesantes, pero el primero es realmente un poco más físico. La razón es que en la materia condensada se trata de potenciales de confinamiento debidos a una red iónica. Tomemos por ejemplo el grafeno, que es una superficie bidimensional. Resulta que esta superficie no es completamente plana, sino que siempre formará algunas ondulaciones. Estas deformaciones de la superficie pueden interpretarse como si los electrones (o los fermiones de Dirac, si se quiere utilizar la teoría efectiva) vivieran en un colector curvo incrustado en una superficie tridimensional. Esto lleva a aplicaciones divertidísimas, como la existencia de agujeros de gusano en el grafeno. Pero al final la curvatura tiene una manifestación muy física en las propiedades electrónicas del sistema.

\= El primero de estos enfoques, que utiliza un potencial de confinamiento, se discute en estos trabajos de Costa:

http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.23.1982

http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.25.2893 (caso de muchas partículas)

El segundo enfoque se trata en este artículo de revisión de B.S. De Witt: http://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.29.377

Véase también el libro de Kleinert, que tiene un capítulo entero sobre ello utilizando un enfoque de la integral de la trayectoria: http://www.amazon.com/Integrals-Quantum-Mechanics-Statistics-Financial/dp/9814273562

Agujeros de gusano de grafeno: http://arxiv.org/abs/0909.3057