Mecánica cuántica en una matriz

Question

En la mecánica cuántica el estado de una partícula libre en un espacio tridimensional es $L^2(\mathbb R^3)$ más exactamente el espacio proyectivo de ese espacio de Hilbert. Aquí estoy ignorando los grados de libertad internos, de lo contrario sería $L^2(\mathbb R^3)\otimes S$ pero digamos que no es ese momento del mes. Los observables son operadores en ese espacio y la dinámica se describe mediante la ecuación de Schrodinger o de otras formas equivalentes. Si tenemos más partículas entonces es $L^2(\mathbb R^{3N})$ . Mi pregunta es: ¿hay algún ejemplo en el que se considere que un sistema con espacio de configuración es una variedad general $M$ , en lugar de $\mathbb R^3$ , digamos un sistema de partículas (una partícula) con algunas restricciones, de manera que el espacio de estados es $L^2(M)$ . Puede que haya razones físicas por las que esto no sea interesante y me interesaría conocerlas. Lo que me interesa es ver ejemplos específicos (o generales) elaborados en detalle. Por ejemplo, un sistema con un Hamiltoniano dado, donde uno puede encontrar explícitamente el espectro. O si eso es mucho pedir un ejemplo donde el sistema tenga propiedades muy diferentes al caso habitual. Digamos una partícula que vive en el medio plano superior con la geometría de Lobachevsky, ¡puede haber alguna conexión con la teoría de números! Soy consciente de que existe la teoría cuántica de campos en el espaciotiempo curvo, me interesa la mecánica cuántica.

Editar: Sólo una pequeña aclaración. Los ejemplos que me gustaría ver no tienen por qué proceder de la física real, pueden ser modelos de juguete o modelos matemáticos completamente irreales. Algo así como: toma tu colector favorito $M$ y suponer que este es el espacio en el que vivimos, qué podemos decir de la QM en él. La elección de $M$ no tiene nada que ver con la relatividad general. Como he dicho el semiplano superior es interesante o cocientes de él por grupos discretos interesantes o generalizaciones $\Gamma\backslash G(\mathbb R)/K$ o cualquier cosa. Las respuestas hasta ahora son interesantes. Espero ver más.

Answer 1

Se puede considerar otra generalización de la $L^2(\mathbb R^3)$ modelo observando que $\mathbb R^3$ es simplemente el espacio de configuración, $Q$ de una sola partícula. Existe un campo llamado Cuantización Geométrica en el que la colectoria base se extiende desde un espacio de Configuración a una colectoria Simpléctica completa $(M,\omega)$ .

La idea es que toda la geometría hamiltoniana puede codificarse en la forma 2 simpléctica $\omega$ . Así, se puede hablar de corchetes de Poisson {f,g}, observables clásicos, etc. La variedad simpléctica es el espacio geométrico natural para el estudio de la mecánica clásica de cualquier sistema. Las variedades simplécticas pueden tener la forma $M=T^*Q$ - como un haz cotangente (y por lo tanto para una sola partícula ser difeomorfo a $\mathbb R^6$ ). Sin embargo, pueden surgir en otros casos, por ejemplo a través de la reducción de restricciones, o independientemente como soluciones de ecuaciones de campo. En los casos de dimensión finita, las variedades simplécticas son de 2N dimensiones.

A continuación, se construye el espacio de Hilbert sobre él. Este procedimiento consiste en introducir un haz de líneas complejo (localmente $U \times \mathbb C$ ) B sobre el espacio M. Hay ciertas condiciones topológicas necesarias para asegurar la existencia de las secciones de este haz (que están relacionadas con las antiguas condiciones de cuantificación de Bohr). Cuando las secciones existen se puede introducir un operador de emparejamiento y construir un espacio de Hilbert.

La condición de que la función de onda $\Psi$ estar en una representación (digamos la representación de posición) se codifica introduciendo lo que se conoce como una Polarización en M. Ésta es una foliación de M sujeta a ciertas condiciones. Las secciones deben ser constantes a lo largo de estas foliaciones. Este proceso geométrico da lugar a la construcción de las conocidas expresiones de posición y momento para la función de onda, y en cierto sentido reconstruye el espacio de configuración si se desea.

Sin embargo, a menudo se puede introducir una estructura compleja $J$ tal que $J^2=-1$ en M que cuando es compatible con la forma simpléctica $\omega$ resulta en algunas propiedades adicionales. En primer lugar esto introduce una métrica en M, y en segundo lugar tenemos $(M,\omega)$ se convierte en un colector de Kahler.

Así que ahora el "espacio de fase" del sistema clásico es una variedad de Kahler. Además, las condiciones de polarización mencionadas anteriormente dan como resultado $\Psi(z)$ - una función holomorfa de z. Como ejemplo concreto

$z = x + ip$

sería la coordenada holomórfica en 2 (real) D. Esta representación holomórfica compleja para ejemplos elementales fue introducida por Bergmann en los años 40, pero en el contexto de la Cuantización Geométrica es el más simple de los ejemplos de Kahler. En estos ejemplos de Kahler los estados Coherentes juegan un papel fundamental.

En cuanto a las variedades no triviales, otra clase interesante de ejemplos de cuantificación geométrica son los ejemplos de simetría (grupo de Lie). En este caso, el colector clásico se construye a partir del propio colector del grupo (examinando las órbitas coadjuntas). Como ejemplo concreto $SU(2)$ tiene como colector clásico $S^2$ . Es decir, la esfera de radio s es el espacio de fase clásico para los grados de libertad rotacionales de una partícula elemental con espín s.

Todo esto puede ser un marco uniforme para estudiar el proceso de cuantización y las implicaciones de las topologías no triviales de forma clásica (Bohm-Aharanhov, fase de Berry, etc).

Un texto es Cuantización geométrica .

Answer 2

He aquí un resumen de los métodos de cuantificación: http://arxiv.org/abs/math-ph/0405065

La mayor parte de este artículo trata de la QM en los colectores.

Answer 3

Cuando se estudia el momento angular en QM, se trata de un caso de partícula en una esfera. Las funciones de onda son los armónicos esféricos, el Hamiltoniano es $L^2$ etc. Se me ocurren muchos otros ejemplos en los que el sistema de configuración de algún sistema QM sería curvo (por ejemplo, algún colector de grupos o espacio de cosetas), así que no creo que haya razones físicas para no mirar esos ejemplos.

Para un conjunto de ejemplos más sofisticados, hay muchos estudios sobre la mecánica cuántica supersimétrica en varias variedades, empezando por este artículo Supersimetría y teoría de Morse por Ed Witten. La conexión entre la QM SUSY y la QFT en una variedad y la topología (o a veces incluso la geometría) de la variedad subyacente se ha convertido en una especie de industria desde entonces.

Answer 4

Puedes echar un vistazo a la cuantificación de la deformación.

Véase, por ejemplo:

Bayen, F. ; Flato, M.; Frønsdal, C.; Lichnerowicz, A. ; Sternheimer, D.: Quantum Mechanics as a Deformation of Classical Mechanics. En: Lett. Math. Phys. 1 (1977), S. 521-530

Bayen, F. ; Flato, M. ; Frønsdal, C. ; Lichnerowicz, A. ; Sternheimer, D.: Deformation Theory and Quantization. En: Ann. Phys. 111 (1978), S. 61-151

para los documentos originales.

Véase, por ejemplo http://omnibus.uni-freiburg.de/~sw12/Download/intro.pdf para una breve introducción elemental. http://iopscience.iop.org/1742-6596/103/1/012002 también puede ser interesante como introducción.

Answer 5

El movimiento mecánico cuántico de una partícula en un colector curvo $X$ es un ejemplo de "modelo sigma no lineal". Véase en el nLab en modelo sigma para un montón de discusiones adicionales. Esta es una noción muy fundamental de la física cuántica. Dado que el espacio-tiempo que habitamos es en general curvo, cualquier La partícula cuántica que se propaga en ese espaciotiempo viene dada por un modelo sigma no lineal.

Esto tiene una relación interesante con cuestiones profundas de la geometría: en concreto, uno puede preguntarse hasta qué punto se puede recuperar la geometría curvada de alguna variedad a partir de la física de una partícula cuántica que se propaga en ella, por tanto, de su espacio de estados, y de los niveles de energía -por tanto, el espectro- de su Hamiltoniano. Esta cuestión de la "geometría espectral" ha sido resuelta por Alain Connes, mediante la noción de " triplete espectral ". Tal como el triple es, en términos de física, nada más que

1. un espacio de Hilbert de estados

2. un Hamiltoniano para una partícula cuántica (o más bien un operador de Dirac para una partícula giratoria);

3. un álgebra de observables espaciales densamente incrustados en el espacio de Hilbert.

El teorema fundamental de los triples espectrales -y, por tanto, de la mecánica cuántica en variedades curvas- es que se puede recuperar la geometría de Riemann de la "variedad objetivo" a partir de estos datos. A su vez, el impacto fundamental de esta observación es: también hay "triples espectrales" y, por tanto, partículas mecánicas cuánticas como las anteriores, que no provienen de variedades objetivo curvas y lisas. Así que, aunque éstas no vienen dadas por la geometría ordinaria, se pueden entender como la descripción del movimiento de las partículas cuánticas en espacios generalizados, es decir, en espacios en geometría no conmutativa . Desde este punto de vista, la "geometría no conmutativa" es lo que una partícula cuántica "ve" cuando "sondea" su espacio objetivo. Véase en el nLab en Geometría espectral y gravedad .

Esta perspectiva de los modelos sigma no lineales es crucial para entender los desarrollos modernos, como los de la teoría de cuerdas. Porque a continuación podemos preguntarnos qué significa para un cadena para propagarse en una colector curvo. Uno encuentra que ahora los datos son una especie de análogo de mayor dimensión de los datos anteriores, que uno podría llamar un Triplete biespectral que suelen modelarse mediante estructuras como las álgebras de operadores de vértice. Así que ahora, para la cuerda cuántica, se puede plantear la misma pregunta de ingeniería inversa que para la partícula cuántica: dada una mecánica cuántica de cuerdas con tal o cual espectro de energía y tales o cuales álgebras de observables, ¿podemos reconstruir el espaciotiempo curvo en el que debe propagarse la cuerda?

De hecho, se puede - precisamente hasta las famosas "dualidades de cuerdas". Así es como la teoría de cuerdas se conecta con la fenomenología, al inferir de la mecánica cuántica de la cuerda la estructura efectiva de fondo por la que debe propagarse.

Por alguna razón, la estrecha similitud entre la descripción de la geometría espectral ("no conmutativa") de Connes de las partículas cuánticas en el espaciotiempo curvo y la teoría de cuerdas perturbadora no se ha publicitado ampliamente. Resultó especialmente llamativo cuando en 2006 Connes y Barret se dieron cuenta de que la única manera de conseguir que la estructura de los fermiones quirales sea correcta en un "modelo estándar espectral" construido de esta manera es considerar una geometría no conmutativa Compactación KK donde el espacio de fibras tiene una dimensión K-teórica igual a 6 (ver las referencias comentadas aquí ). Se trata, por supuesto, de la misma respuesta que en la teoría de cuerdas, aunque aquí se deriva de supuestos diferentes.

En cualquier caso, describir la geometría curva en términos de la mecánica cuántica de las partículas (y las cuerdas y las branas, etc.) que se propagan por ella es un tema profundo en matemáticas y física.

Pero como la pregunta parece ser realmente acerca de en qué espacios el funciones de onda son secciones de algún haz, hay que mirar un poco más allá: en general una función de onda es una sección polarizada de un haz de líneas precuánticas sobre un reducido espacio de fase covariante . Ahora bien, los espacios de fase en la mecánica cuántica y en la teoría cuántica de campos, en la mayoría de los casos, salen como los haces cotangentes $T^\ast X$ del espacio de configuración. Pero es importante recordar que en general hay simetrías (gauge) en el sistema, y que el espacio de fase real es el cociente de este haz cotangente por estas simetrías. En general, esto conduce a espacios de fase geométrica y topológicamente no triviales.

En particular, el espacio de fase de los grados de libertad "internos" de las partículas cuánticas son genéricamente curvos y compacto . El ejemplo más básico es el espacio de fase para los "rotores" y los "espinores", por tanto para el grado de libertad de espín de los fermiones. Se trata de la 2-esfera (con su métrica redonda y curvada). Ver en cuantificación geométrica de la 2-esfera para saber más sobre esto.

O si la partícula está "cargada de forma no abeliana" (por ejemplo si es un quark) entonces los grados de libertad internos están dados por un espacio de fase que es un órbita coadyuvante del grupo gauge Lie dado. Los detalles sobre estos espacios de fase compactos y curvados se encuentran en el nLab en método orbital .

En conlcusión, los espacios objetivo curvos y los espacios de fase son más la regla que la excepción, y su cuantización conecta con problemas importantes y profundos no sólo en física sino también en geometría y en matemáticas en general.