En primer lugar, un periférico cuestión técnica: a Diferencia de la integridad, la closedness no es una propiedad absoluta; es una relación de propiedad. Un espacio de $S$ es completa o no es completa. Pero no tiene sentido decir que $S$ es cerrado o no cerrado. Todo lo que puedo decir es que es cerrado relativo a algún espacio más grande $T$. Por ejemplo, consideremos el conjunto $(0, \infty)$ de los números reales positivos. Esto no es cerrado relativo a $\Bbb R$, porque no puede contener a su punto límite $0$. Pero es cerrado relativo a$\Bbb R\setminus\{0\}$, ya que ahora se hace contener todo su límite de puntos cero ya no es un punto límite, porque nos quita el espacio. Y, por supuesto, es cerrado relativo a $(0,\infty)$ debido a que cada espacio topológico es un subconjunto cerrado de sí mismo. Así que su propuesta no tiene sentido, porque no hay tal cosa como un "espacio cerrado".
(El problema puede ser visto en forma más general, si se considera la definición de un conjunto cerrado: $C$ es cerrado si $X\setminus C$ está abierto. Pero esto depende de lo $X$ es.)
Pero hay un problema más grande. Los Griegos di cuenta de 2300 años atrás, que los números racionales son incompletos. Ponerlo de forma anacrónica, se dieron cuenta de que hay secuencias de Cauchy que no convergen. Una teoría acerca de tales espacios es necesario. Usted lo pidió
¿cuál es el beneficio en la introducción de esta noción más débil de completar espacios y tratar con estos débiles tipos de secuencias de llamada secuencias de Cauchy
Esto es como preguntar por qué los físicos que pasan mucho tiempo tratando de entender a las fuerzas de fricción, cuando todo el mundo sabe que los problemas son mucho más fáciles de resolver si simplemente suponga que no hay fricción. ¿Por qué no físicos tomar el camino más fácil? Porque no es la fricción y el punto entero de la física para resolver problemas acerca de cómo el mundo es en realidad, de la fricción y de todos.
Como la física, las matemáticas no es sólo hecha de la nada. Queremos resolver ciertos tipos de problemas y entender la forma en que los números y las formas de trabajo. Los números racionales parecen ser fundamentales, el tipo de objeto, una de las cosas que es importante en la estructura del universo. El punto entero de las matemáticas es entender cómo las cosas como los números racionales trabajo y cómo se relacionan con otras cosas como los números reales.
Y la parte más importante de la respuesta a esa pregunta resulta ser: los números racionales contienen secuencias donde los elementos más y más juntos (secuencias de cauchy) y el tipo de convergencia, aunque no hay ningún número racional que convergen. (Un ejemplo común es $1, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \ldots$. Podemos demostrar que si esta secuencia se converger a algunos límite de $L$, tendríamos $L^2 = 2$. Pero hemos sabido durante mucho tiempo que no hay tal $L$.)
Pero los números reales se comportan de manera diferente: si los elementos de una secuencia más y más, no debe ser un solo punto de $L$ que se acercan. Los dos tipos de números son fundamentalmente diferentes en este camino, y nos quedamos con ella, tal y como nos pegan con la fricción. Necesitamos dar a diferencia de un nombre. El nombre es "integridad".
