Producto de $ |z^k - 1| $

Question

Problema: Demostrar la siguiente identidad sobre el producto que involucran las raíces enésimas de la unidad:

$$ \prod_{k=1}^{N-1}|z^k-1| = N $$

donde $ z^k $ es la primitiva n-ésima raíz de la unidad.

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Intento:

$$ \begin{align} \prod_{k=1}^{N-1}|z^k-1| &= \prod_{k=1}^{N-1}\left|(\cos(\frac{2\pi k}{N})-1)+i\sin(\frac{2\pi k}{N})\right| \\ &=\prod_{k=1}^{N-1}\sqrt{\cos^2(\frac{2\pi k}{N})-2\cos(\frac{2\pi k}{N})+1+\sin^2(\frac{2\pi k}{N})} \\ &=\prod_{k=1}^{N-1}\sqrt{2-2\cos(\frac{2\pi k}{N})} \\ &=\prod_{k=1}^{N-1}2\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(\frac{2\pi k}{N}))} \\ &=2^{N-1}\prod_{k=1}^{N-1}\sin(\frac{k\pi}{N}) \end{align} $$

He encontrado en la Wikipedia en la que hay una identidad para el último producto: $ \prod_{k=1}^{N-1}\sin(\frac{k\pi}{N}) = N/2^{N-1} $. Sin embargo no sé cómo demostrarlo.

Podría alguien ayudarme a probar la última de identidad o, tal vez, sugerir un enfoque diferente para el problema?

Answer 1

Aha, me acaba de resolver:

Primero, considere el polinomio $$ \prod_{k=0}^{N-1}(x-z^k) $$ Las raíces del polinomio son las raíces enésimas de la unidad, que son, precisamente, las raíces del polinomio $ x^n-1 $, por lo que los dos son iguales.

Dividir ambos lados por $ x-1 $, obtenemos $$ \prod_{k=1}^{N-1}(x-z^k) = 1+x+\dots+x^{N-1} $$ Sustituyendo $ x=1 $, obtenemos que el producto es igual a $ N $.

El producto de las magnitudes es la magnitud del producto, con lo que obtenemos el resultado deseado $$ \prod_{k=1}^{N-1}|1-z^k| = N $$

Answer 2

La primitiva N-esima raíces corresponden a los factores de $(X^n - 1)/(X-1)$.