Cada subgrupo normal de un grupo finito está contenida en algunos composición de la serie

Question

En este contexto, la composición de la serie significa la misma cosa, como se define aquí.

Como dice el título dado a un grupo finito $G$ $H \unlhd G$ me gustaría mostrar que hay una composición de la serie que contiene $H.$

La siguiente es mi intento.

El argumento principal de la demanda es el que muestra el siguiente.

Lema. Si $H \unlhd G$ $G/H$ no es simple, entonces existe un subgrupo $I$ tal que $H \unlhd I \unlhd G.$

La prueba de la siguiente manera, desde el 4 teorema de isomorfismo ya que si $G/H$ no es simple, hay un subgrupo normal $\overline{I} \unlhd G/H$ de la forma $\overline{I} = H/I.$

Supongamos ahora que $G/H$ no es simple. Usando el lema anterior podemos deducir que existe un número finito de la cadena de grupos (desde $G$ es finito) tales que $$H \unlhd I_1 \unlhd \cdots \unlhd I_k \unlhd G$$ and $G/I_k$ is simple. Now one has to repeat this process for all other pairs $I_{i+1}/I_{i}$ and for $I_1/H$ hasta que los cocientes son simples grupos. Todo esto está bien, ya que todos los subgrupos son finitos así.

Ahora si $H$ es simple, estamos hecho de otra manera hay un grupo de $J \unlhd H$ y nos inductivamente construir la composición de $H.$

Es el de arriba "prueba" de la correcta? Si es así, ¿hay una manera de hacer que sea menos complicado?

Answer 1

Su enfoque tiene todos los elementos de una prueba, pero quería ofrecer sugerencias para un "menos complicado" versión.

Primero de todos, mientras que usted está usando que "cualquier grupo finito tiene una composición de la serie", no es necesario su lema.

Usted podría ir sobre él de esta manera. Deje $H$ ser un subgrupo normal de $G$. A continuación, $H$ tiene una composición de la serie $1=H_0<\dots<H_k=H$. El grupo $G/H$ también tiene una composición de la serie, que vamos a enumerar de esta manera:

$$ H/H=H_{k}/H<\dots <H_n/H=G/H $$

Por un teorema de isomorfismo, el hecho de que $(H_{k}/H)/(H_{k-1}/H)$ es simple es equivalente a $H_k/H_{k-1}$ ser simple.

Poniendo estos dos cadenas juntas, usted tiene que $H_0<\dots <H_n$ es una composición de la serie para $G$ a través de $H$.

Answer 2

Si la prueba es esencialmente correcto. Usted puede hacer que se vea menos desordenado de la siguiente manera. Notar que la prueba de que $G$ tiene una composición de la serie, en primer lugar, tiene la misma estructura que su prueba, usted podría hacer un dos-en-un-golpe de inducción sobre el orden de las $G$ demostrando: "$G$ tiene una composición de la serie, y si $H$ es un trivial normal y adecuada subgrupo de $G$, entonces puede ser elegido para pasar a través de $H$".

La base de los casos se $G$ trivial o simple, y la afirmación es obvia, a continuación, (la segunda parte es vacuously satisfecho). De lo contrario, existe un trivial normal y adecuada de los subgrupos $H$$G$; elige, o para la segunda parte tome el que se impone. Ahora por inducción $H$ tiene una composición de la serie, que nos plantamos debajo de $H$ como parte de nuestra composición final de la serie. El cociente $G/H$ también tiene una composición de la serie, que nos "levantar" al tomar la preimagen en $G$ (bajo la proyección modulo $H$) de cada subgrupo en la serie para obtener la parte de la composición de la serie entre el$G$$H$, por el teorema de isomorfismo.