Los conjuntos de $\{ 1, 2, 3 \} $ $\{ 0, 1, 2 \} $ son conjuntos diferentes. Tienen diferentes elementos.
De vuelta a la pregunta. Para cualquier conjunto a $X$ de los ordinales hay un ordinal que es mayor que o igual a todas y cada ordinal en $X$. Desde los ordinales son bien ordenados no es menos ordinal que es mayor que o igual a todas y cada ordinal en $X$. Este ordinal es el supremum de $X$. Si $X$ pasa a tener un elemento más grande, a continuación, que el elemento más grande es el supremum de $X$. (Compare esto con los números reales.)
Para tu problema hay dos casos: o $A$ tiene un elemento mayor o $A$ no tiene un elemento más grande.
Supongamos que el primer caso se mantiene. Deje $\xi^*$ ser el elemento más grande de $A$. El elemento $\xi^* + 1$ es mayor que cada elemento de la $A$ y es el supremum de los elementos de $\{ \xi + 1 \colon \xi \in A \} $. Cualquier ordinal que es estrictamente menor que $\xi^*$ será mayor que al menos un elemento de a $A$, es decir,$\xi ^*$. En este caso tenemos el resultado deseado.
Supongamos que el segundo caso se mantiene. En este caso, $\sup A$ es el menor ordinal mayor que todos los ordinales en $A$. Para ver este elija $\xi_{0} \in A$. Por nuestra suposición de que el segundo caso se sostiene que hay un $\xi_{1} \in A$ satisfacción $\xi_{0} < \xi_{1} \leq \sup A$. Desde $\xi_{0}$ fue un elegido de forma arbitraria elemento de $A$ obtenemos $\sup A$ es el menor ordinal mayor que cada elemento de a $A$. Ahora nos muestran que la $\{ \xi + 1 \colon \xi \in A \} = \sup A$. Seleccione $\xi_{0} \in A$. No se que $\xi_{0} < \xi_{0} + 1 \leq \xi_{1}$ donde $\xi_{1}$ es algunos ordinal en $A$ que es mayor que $\xi_{0}$. Puesto que para cada elemento $\alpha \in B = \{ \xi + 1 \colon \xi \in A \} $ hay otro elemento de $A$, que es mayor que $\alpha$ el supremum de $A$ no es más pequeña que el supremum de $B$. Pero, a continuación, los dos supremum son iguales.
