Supremum y ordinales

Question

Pregunta: Mostrar que sup{$\xi \dotplus 1 : \xi \in A$} es el menor ordinal que es mayor que cada elemento de a $A$.

Traté de conseguir una mejor sensación para esta dejando $A=3=${$0,1,2$}. Entonces yo sé que al menos ordinal mayor que cada elemento de a $3$ $3$ sí. Así, sup{$\xi \dotplus 1 : \xi \in 3$}=$\bigcup_{\xi \in 3}${$\xi \dotplus 1$}={$0 \dotplus 1$}$\cup${$1 \dotplus 1$}$\cup${$2 \dotplus 1$}$=${$1,2,3$}.

Supongo que {$1,2,3$} y {$0,1,2$} son los mismos, debido a que hay una orden de preservación de isomorfismo de uno a otro.

Ahora estoy teniendo problemas para generalizar.

Answer 1

Usted no ha formado la unión correctamente (inadvertencia añadió otra capa de llaves). Lo que realmente tienes en tu ejemplo es $\cup\{1,2,3\}=1\cup 2\cup 3$, y esto sólo es $3$ sí, desde $1=\{0\}\subset\{0,1\}= 2\subset\{0,1,2\}= 3$.

En general, es claro que el supremum de $\{\xi+1:\xi\in A\}$ es al menos tan grande como $\xi+1$ por cada $\xi\in A$, y tan sólo tienes que sostienen que nada más pequeños también será más grande que cada uno de estos.

Answer 2

Supongamos $\alpha=\sup\{\xi+1\colon\xi\in A\}$ $\alpha$ es más grande que todos los $\xi\in A$ por razones obvias.

Supongamos $\beta<\alpha$ es también la mayor de todas las $\xi\in A$. Desde $\alpha$ es el supremum de $\xi+1$ tenemos que es el menor ordinal mayor o igual a $\xi+1$$\xi\in A$; en particular, tenemos que $\beta\le\xi_0+1\le\alpha$ algunos $\xi_0\in A$.

Desde $\beta<\alpha$ tenemos que si $\xi_0+1=\alpha$$\beta=\xi_0$, en contradicción con el hecho de $\beta$ fue estrictamente mayor que todos los $\xi\in A$, y si $\beta<\xi_0+1$$\beta=\xi_0$, una vez más en contradicción con el mencionado hecho.

Answer 3

Deje $\alpha = \sup \{\xi+1:\xi\in A\}$. Para cada $\eta \in A$, $\eta \in \eta+1 \subseteq \bigcup\limits_{\xi \in A}(\xi+1) = \sup \{\xi+1:\xi\in A\} = \alpha$, por lo $\eta < \alpha$. Es decir, $\alpha$ es mayor que cada uno de los miembros de $A$.

Ahora supongamos que algunos ordinal $\beta < \alpha$. A continuación,$\beta \in \alpha = \bigcup\limits_{\xi \in A}(\xi+1)$, por lo que debe haber algunos $\xi \in A$ tal que $\beta \in \xi+1$. Pero, a continuación,$\beta < \xi+1$, y, por tanto,$\beta \le \xi$. Por lo tanto, $\beta$ es no mayor que todos los miembros de $A$.

Juntando las piezas, podemos ver que $\alpha$ debe ser la menor ordinal mayor que todos los miembros de $A$.

Answer 4

Los conjuntos de $\{ 1, 2, 3 \}$ $\{ 0, 1, 2 \}$ son conjuntos diferentes. Tienen diferentes elementos.

De vuelta a la pregunta. Para cualquier conjunto a $X$ de los ordinales hay un ordinal que es mayor que o igual a todas y cada ordinal en $X$. Desde los ordinales son bien ordenados no es menos ordinal que es mayor que o igual a todas y cada ordinal en $X$. Este ordinal es el supremum de $X$. Si $X$ pasa a tener un elemento más grande, a continuación, que el elemento más grande es el supremum de $X$. (Compare esto con los números reales.)

Para tu problema hay dos casos: o $A$ tiene un elemento mayor o $A$ no tiene un elemento más grande.

Supongamos que el primer caso se mantiene. Deje $\xi^*$ ser el elemento más grande de $A$. El elemento $\xi^* + 1$ es mayor que cada elemento de la $A$ y es el supremum de los elementos de $\{ \xi + 1 \colon \xi \in A \}$. Cualquier ordinal que es estrictamente menor que $\xi^*$ será mayor que al menos un elemento de a $A$, es decir,$\xi ^*$. En este caso tenemos el resultado deseado.

Supongamos que el segundo caso se mantiene. En este caso, $\sup A$ es el menor ordinal mayor que todos los ordinales en $A$. Para ver este elija $\xi_{0} \in A$. Por nuestra suposición de que el segundo caso se sostiene que hay un $\xi_{1} \in A$ satisfacción $\xi_{0} < \xi_{1} \leq \sup A$. Desde $\xi_{0}$ fue un elegido de forma arbitraria elemento de $A$ obtenemos $\sup A$ es el menor ordinal mayor que cada elemento de a $A$. Ahora nos muestran que la $\{ \xi + 1 \colon \xi \in A \} = \sup A$. Seleccione $\xi_{0} \in A$. No se que $\xi_{0} < \xi_{0} + 1 \leq \xi_{1}$ donde $\xi_{1}$ es algunos ordinal en $A$ que es mayor que $\xi_{0}$. Puesto que para cada elemento $\alpha \in B = \{ \xi + 1 \colon \xi \in A \}$ hay otro elemento de $A$, que es mayor que $\alpha$ el supremum de $A$ no es más pequeña que el supremum de $B$. Pero, a continuación, los dos supremum son iguales.