Encontrar las soluciones de $x^2\equiv -1\pmod{5}$ $x^2\equiv -1\pmod{13}$

Question

Encontrar las soluciones de $x^2\equiv -1\pmod{5}$ $x^2\equiv -1\pmod{13}$

Sé que ambos son solubles desde $5\equiv 1\pmod{4}$ $13\equiv 1\pmod{4}$

¿Cuál es el método para la resolución de este ecuaciones simultáneas.

Buscando un método estándar para su uso con este tipo de problema.

Answer 1

Sugerencia: $x^2 \equiv -1$ mod $5$ $\iff$ $x^2 \equiv 4$ mod $5$ $\iff$ $(x-2)(x+2) \equiv 0$ mod $5$, de donde $x \equiv 2$ o $x \equiv -2$ mod $5$.

$x^2 \equiv -1$ mod $13$ $\iff$ $x^2 \equiv 25$ mod $13$ $\iff$ $(x-5)(x+5) \equiv 0$ mod $13$, de donde $x \equiv 5$ o $x \equiv -5$ mod $13$.

Ahora de la cruz-resolver estos $4$ posibilidades con el Teorema del Resto Chino.

Ejemplo: si $x \equiv 2$ mod $5$ $x \equiv 5$ mod $13$, esto debería darte $x \equiv 57$ mod $65$

Answer 2

por Wilson del teorema, para el prime $p$: $$(p-1)! \equiv_p -1$$ si $p \equiv_4 1$ $p-1 = 4n$ y $$(p-1)! = \prod_{k=1}^{2n} k \prod_{k=2n+1}^{4n} k =\prod_{k=1}^{2n} k\prod_{k=1}^{2n}(p - k) \equiv_p (-1)^{2n} \left( \prod_{k=1}^{2n} k \right)^2 = ((2n)!)^2$$ es decir, $$\left( \left(\frac{p-1}2 \right)! \right)^2 \equiv_p -1$$ por lo $(2!)^2 \equiv_5 -1$$(6!)^2 \equiv_{13} -1$, $6! = 720 \equiv_{13} 720-650-65=5$

ya que, por cualquier $m$ tenemos $j^2 \equiv_m (m-j)^2$ la raíz cuadrada de $-1 \mod 5$ $2,3$ y la raíz cuadrada de $-1 \mod 13$ $5,8$

Answer 3

Sugerencia $\ $ Por la CRT de las raíces cuadradas de mod $5$ $13$ levantar a $4$ raíces cuadradas mod $65$. Es evidente que existe una raíz cuadrada $\,{\rm mod}\ 65\!:\ x^2\equiv -1\equiv 64\,$ si $\,x\equiv \pm8\equiv \pm (2,5)\pmod {5,13}$. El otro par $\pm (-2,5),\,$ surgir por la multiplicación de la primera pareja, por $\,(-1,1)\equiv 14,\,$ es decir $\,\pm 8\cdot 14\equiv \pm18\pmod{65}.\ $ QED