¿Qué significa el derivado del área con respecto a la longitud de?

Question

Supongamos que tenemos una hoja cuadrada de % de la longitud de borde $L$. Su área de $A=L^2$.

$A$ W.r.t. L la diferenciación, obtenemos
$$\dfrac{dA}{dL}=2L$$

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Entender lo que significa distinguir, gráficamente, que te da la pendiente de la tangente en un punto en el gráfico. Pero ahora, cuando creo que de lo que significa diferenciar en el contexto de área y longitud, no tiene sentido para mí en todo. ¿Qué significa $2L$?

Answer 1

Tratar de dibujar un cuadrado de $ABCD$ con lado igual a $L$. Ahora dibuje una ligeramente más grande que la plaza de $AB'C'D'$ con lado de longitud $L+\Delta L$ (que $DD'=BB'=\Delta L$). Ahora mira a la $\Gamma$-como la forma de corte de$AB'C'D'$$ABCD$, se puede dividir en tres partes: dos rectángulos finas $L\times \Delta L $ y un pequeño cuadrado de $\Delta L\times \Delta L $.

Ahora la derivada es bastante simpified términos "la diferencia de valor de la función sobre el cambio de argumento", así que, básicamente, al aumento de la longitud lateral por $\Delta L$, luego de la superficie aumenta por $2L\Delta L$ y un negligeble plazo $(\Delta L)^2 $.

También se puede decir que $2L$ significa que el permeter de la parte de la plaza que consiguió inflados.

Answer 2

Tenga en cuenta esta imagen:

Aquí el cuadrado verde es la Plaza de área $A=L^2$ y la línea roja es su aumento.

Cuando aumenta la longitud $L$ $dL$, obtiene aumentado el % de área $A$$2LdL$. Por lo tanto, para responder a su pregunta, importancia de $2L$ es que es la longitud de la línea roja en la imagen ($dL$ es su anchura).

Answer 3

Pensando gráficamente la derivada como la pendiente de la tangente es simplemente una manera de entender el significado de la derivada. Es la más común, porque es la forma de la derivada está motivado en la mayoría de los cursos introductorios de cálculo. Pero el significado y el valor de la idea de un derivado es mucho más profundo. La derivada mide la tasa a la que algo cambia. Que vale la pena pensar antes de empezar con los gráficos y fórmulas. Aquí están algunos ejemplos.

Supongamos que usted está conduciendo. A continuación, la distancia que ha recorrido cambia a medida que pasa el tiempo. Si usted está conduciendo a una temperatura constante de 30 millas por hora, a continuación, la distancia se incrementa en un 30 millas por cada hora de viaje. La derivada de la distancia es la tasa: a 30 millas por hora.

Eso es un ejemplo fácil debido a que el ritmo de los viajes es constante. El cálculo fue inventado para manejar situaciones donde la tasa es de por sí cambiante. Por ejemplo, si usted comienza a partir de una luz roja y acelerar hasta el límite legal de velocidad de 30 millas por hora, entonces su velocidad está cambiando. La derivada de la velocidad es la velocidad a la que se está acelerando - la aceleración. Usted puede medir que en (millas por hora) por segundo.

En economía, el número de clientes para su producto depende del precio que le cobra. Cuando se eleva el precio, menos gente va a comprar de usted. La derivada de la cantidad de clientes es la velocidad a la que se pierden, que se mide en (clientes perdidos) por (dólar de incremento en el precio). En este caso, la derivada es negativa.

Las poblaciones cambian con el tiempo. Para los microorganismos que usted puede elegir para medir el tiempo en horas. Entonces la derivada de la población es el número de nuevos organismos por hora. Entonces las cosas se vuelven interesantes, debido a que el número de nuevos organismos por hora depende de la población - el más organismos que tienen, los más de ellos que hay que reproducir. Así que la derivada de la población, medido en nuevos organismos por hora, es el producto del número de organismos y la tasa de natalidad. Esto significa que la derivada de la población (como pasa el tiempo) es proporcional a la población. Que conduce a un crecimiento exponencial.

Se puede describir la derivada de una gráfica de la función y = f(x) de la misma manera. Aquí la altura y como cambia el valor de x cambia. Mayor será la inclinación de la gráfica (en cualquier momento) el más grande es el cambio en y para cualquier pequeño cambio en x. La tasa a la cual y de los cambios es la derivada. Usted tiene que pensar sólo unos pequeños cambios en x ya que la gráfica es una curva cuya pendiente varía de un lugar a otro. Mientras que el cambio en x es pequeña, la curva de casi coincide con la recta tangente, cuya pendiente es sólo la tasa de cambio que te importan. (Se toma de los matemáticos de los siglos de trabajo para que el sentido preciso de la idea expresada más o menos como "si cambia la x por sólo una cantidad infinitesimal, a continuación, la curva y la tangente son los mismos".)

Ahora piensa en la pregunta que usted me hizo. El área de un cuadrado depende de la longitud de su lado. La derivada de las medidas de la velocidad a la que las variaciones de la superficie cuando el lado de los cambios, que se mide en unidades como (centímetros cuadrados de área) por (centímetro de lado). @TZakrevskiy 's respuesta anterior explica el hecho de que sólo el doble de la longitud lateral. He aquí un análogo pregunta: explique por qué al crecer un círculo de radio r, el área de los cambios en la tasa de 2 pi r.

Me gustaría que hubiera más tiempo y más incentivos para pasar el tiempo en clases de cálculo en estas ideas, en lugar de apresurarse a las reglas y fórmulas para las derivadas y las integrales).