Deje $\pi:C^{'} \rightarrow C$ un unramified doble cubierta de un complejo de superficie de Riemann $C$ de género $g$. Con el símbolo $Nm_{\pi}$ nos referimos a la aplicación de la norma que tiene una función de meromorphic en $C^{'}$ nombre $h$ y producir una función de meromorphic en $C$ nombre $Nm_{\pi}( h)$ define como $$Nm_{\pi}(h)(p)=\prod_{q \in \pi^{-1}(p)} h(q)^{\nu(q)}$$
donde $\nu(q)$ es la multiplicidad de $q$ en la fibra de $p$ respecto al $\pi$.
Escribir $(f)=(Nm_{\pi}(h))$ los principales divisor asociado a la función de $Nm_{\pi}(h)$.
Me gustaría probar que:
1) si $\tau: C^{'} \rightarrow C^{'}$ es la hoja de intercambio de la involución de la doble cubierta de la $\pi$. Mostrar que existe una función de $s$ meromorphic en $C^{'}$ tal que $$ s(q)=-s(\tau(q))$$
2)Deje $\tau$ como en el punto 1) y deje $f$ una función de meromorphic en $C^{'}$ tal que $f=-f \circ \tau$. Mostrar que $(Nm_{\pi}(f))$ es divisible por 2, es decir, podemos escribir $(Nm_{\pi}(f))=2D$.
Respuesta
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Por Riemann teorema de existencia de la meromorphic funciones en una superficie de Riemann compacta separar los puntos, por lo que considerar dos diferentes puntos de $p,p'$ $C'$ sobre una fibra de $\pi$ y una función de meromorphic $f$ $C'$ que es holomorphic en estos puntos y $f(p)\neq f(p')$. Definir $$s = f - f\circ \tau.$$ Luego tenemos a $$s\circ \tau = f\circ \tau - f\circ \tau\circ \tau = f\circ \tau - f = -s,$$ por otro lado $s(p) = f(p)-f(p')\neq 0$ $s$ es una solución no trivial para 1).
2) Si $f$ satisface $f=-f\circ \tau$ a continuación, para cada $q\in C'$, $\mathrm{ord}_f(q) = \mathrm{ord}_f(\tau(q))$ y $$(Nm_\pi(f))(\pi(q)) = \mathrm{ord}_f(q)+\mathrm{ord}_f(\tau(q)) = 2\mathrm{ord}_f(q).$$
Tenga en cuenta también que la condición de unramified-ness no es necesario, por encima de las declaraciones, a pesar de que lo han utilizado.
