¿Qué hacer gráficas de funciones racionales de seno y coseno en general? (Una variedad de diferentes formas, lo sé. Una clasificación o catálogo de ellos podría responder a la pregunta, o tal vez una afirmación teórica de algún tipo.)
El dominio puede ser considerado como un círculo $[0,2\pi]$ mediante la identificación de los extremos, y el codominio es el círculo de $\mathbb R\cup\{\infty\}$, el punto de compactification de la línea. Por lo tanto los gráficos vivir en un toro. El seno y el coseno de viento de una vez alrededor del toro de la horizontal (dominio) y cero veces alrededor de la vertical (codominio). La tangente que pasa alrededor de una vez el modo horizontal y dos verticales. La secante y la cosecante hacer como el seno y el coseno, pero en la otra mitad del toro (y es sólo la mitad si usted mapa del círculo $\mathbb R\cup\{\infty\}$ a la ordinaria Euclidiana círculo en un camino que se $0, 1, \infty, -1$, en ese orden a puntos diferentes por un arco de una cuarta parte de todo el círculo.
Así que miré en la gráfica de $\theta\mapsto\sec\theta+\csc\theta$. Me sorprendió un poco. Superficialmente, se veía algo como esto:
- Entre el $0$ $\pi/2$ es similar a $2\sqrt{2}\csc(2\theta)$, es decir, que se vino abajo a partir de $+\infty$ y volvió a subir;
- Entre el$\pi/2$$\pi$, que es similar a un periodo de la función tangente, de nuevo, por supuesto, con el doble de la frecuencia natural de la función tangente;
- Entre el $\pi$ $3\pi/2$ se ve como el otro lóbulo de la cosecante gráfico;
- Entre el $3\pi/2$ $2\pi$ parece menos la función tangente, pero de nuevo, con el doble de la frecuencia.
Pero la forma real de los lóbulos se asemeja a la secante gráfico no es idéntica a la forma real de la secante gráfico. Y del mismo modo con la tangente, aunque extrapolar los valores de la tangente a la función de tener un cero en $3\pi/4$ frente a los de $\sec+\csc$ en dicho intervalo de tiempo se da algo muy cercano a una línea recta, aunque visiblemente diferente.
Así que sus devanados alrededor del toro son así: Se va una vez alrededor en la dirección horizontal, y un neto de cero veces la vuelta en la dirección vertical. Pero en el devanado cero veces alrededor del círculo $\mathbb R\cup\{\infty\}$, que se inicia y $\infty$, casi la mitad de camino en la dirección negativa, entonces va en la dirección positiva de casi dos vueltas alrededor del círculo antes de turing alrededor y se dirigía hacia el otro lado.
