resolviendo el sistema lineal "por inspección"?

Question

Una pregunta de texto está pidiendo resolver algunos sistemas lineales por la inspección . Mi interpretación de "por inspección" es "por mirar". Para un sistema lineal como

$$ \begin {cases} 3x + 4y = 28 \\ 3x + 4y = 83 \end {cases} $$

se podría decir que por inspección no hay solución porque "dos (de los mismos) números no pueden tener sumas diferentes".

o dado el sistema

$$ \begin {cases} y = 3x + 5 \\ y = 2x + 5 \end {cases} $$

se podría decir que por inspección, la solución es (0, 5) porque ambas líneas tienen la misma intersección en Y pero diferentes pendientes.

Pero los ejercicios dados en mi texto no me parecen que se presten a una solución por inspección (de ahí mi pregunta aquí).

Los cuatro sistemas son:

$$ \begin {cases} x + y = 6 \\ 2x + y = 8 \end {cases} $$

$$ \begin {cases} x - y = 1 \\ 5x + 2y = 5 \end {cases} $$

$$ \begin {cases} x + y = 8 \\ 2x + y = -11 \end {cases} $$

$$ \begin {cases} 2x + y = 13 \\ x + 2y = 7 \end {cases} $$

Para cada uno de ellos, parece que al menos se requiere algún cálculo mental - que va más allá del concepto de "por inspección" en mi opinión. ¿O no? ¿O hay algo más que me falta?

Gracias.

Answer 1

Creo que tienes una idea bastante clara de lo que puede significar "resolver por inspección". Como señalas, por ejemplo, los sistemas iniciales que publicas son ciertamente apropiados para "resolver por inspección".

Estoy de acuerdo en que los sistemas posteriores requieren un poco más de reflexión, pero se prestan a hacer "conjeturas" como mínimo: si no para soluciones inmediatas, para saber cómo proceder para encontrar soluciones fácilmente. La tarea, sospecho, tiene como objetivo que pienses en el sistema antes de simplemente mecánicamente procediendo a resolver, por medios memorísticos.

Por ejemplo: el sistema

$x + y = 6$
$2x + y = 8$

se presta a una solución bastante fácil $x = 2$ cuando restamos "mentalmente" la primera ecuación de la segunda, lo que se presta a una conclusión bastante inmediata, "entonces $y = 4$ ." Así que ciertamente, "por inspección" no significa "sin pensar".

Así que piense en la tarea como una tarea "metacognitiva", de tratar de "ojear" -si no las soluciones inmediatas- la forma de proceder para resolverla.

Answer 2

Hay algo que se te escapa en esta situación concreta. "Por inspección", como han señalado otros, significa "por casualidad pensar en una solución que funcione", lo que se permite incluir el cálculo mental.

La cuestión es que, en diferentes situaciones, debe haber diferentes cosas que te ayuden a pensar en esa solución, y a centrar tu atención en el tipo de cálculos mentales adecuados.

En el caso de las ecuaciones lineales, hay algo muy útil para centrar tu atención: el hecho de que las ecuaciones pueden describir combinaciones lineales de vectores. Entonces, tratar de pensar en una combinación de x e y que funcione es, en realidad, tratar de pensar en una combinación de vectores que funcione.

Así que a sus ejemplos:

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$$ x -y = 1\\ 5x+2y = 5\\ $$ se convierte en $$ x\begin{pmatrix} 1\\ 5 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix}-1\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} $$ Y ahora está claro que $x=1$ y $y=0$ dará la solución.

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$$ x+y = 6\\ 2x+y = 8\\ $$ se convierte en $$ x\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} $$ Este vector final no es un múltiplo de uno de los otros como en el anterior. Así que intentaré restarle uno de los vectores. Restando $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ un par de veces da $\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}$ que es 4 de mi segundo vector, por lo que debe ser $x=2$ , $y=4$ .

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El mismo donde el vector es $\begin{pmatrix} -8 \\ -11 \end{pmatrix}$ es un poco más complicado. Si añado $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ cambiará la distancia entre las dos coordenadas, así que intentaré que las coordenadas sean iguales para que sea un múltiplo de $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Sumando tres veces se obtiene $\begin{pmatrix} -5 \\ -5 \end{pmatrix}$ . Así que parece que necesitamos $x=-3$ y $y=-5$ .

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El último es: $$ x\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ 7 \end{pmatrix} $$ El vector de respuesta es $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ lejos de $\begin{pmatrix} 12 \\ 6 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ es un tercio de la suma del vector x y del vector y. Así que si hacemos $6\frac{1}{3}$ del vector x y $\frac{1}{3}$ del vector y obtendremos la respuesta correcta. Es decir, $x = 6\frac{1}{3} = \frac{19}{3}$ y $y = \frac{1}{3}$ .

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Como puedes ver, no hay un "método" en sí, pero pensar en ello como una ecuación vectorial puede ayudar.

Answer 3

"Resolver por inspección" a veces significa "la forma más fácil de eliminar". En el primer y tercer sistema los coeficientes de $\,y\,$ son iguales $(=1),\,$ por lo que simplemente restando las dos ecuaciones se elimina $\,y\,$ , cediendo fácilmente $\,x\,$ . En los otros sistemas los coeficientes son $\,\pm1\,$ y $\,2,\,$ por lo que sólo tenemos que sumar/restar una ecuación doble para eliminar $\,y.\,$ Por lo general, se buscan coeficientes "pequeños", y/o en los que un coef es un múltiplo del otro, por lo que la aritmética se puede hacer fácilmente de forma mental.

A menudo, la solución mediante la inspección significa emplear intuición para ver alguna optimización (o truco), antes de aplicar alguna memorístico o algorítmico técnica, que sería mucho más tediosa. Por ejemplo, para resolver la congruencia $\ 6\color{#c00}x\equiv 1\pmod p\ $ para un primer $\ p > 3\ $ podríamos aplicar mecánicamente el algoritmo euclidiano ampliado. O podríamos aplicar la intuición: todo primo de este tipo es de la forma $\ 6n\pm 1\ $ por lo que, por ejemplo, mod $\, p = 6n\!-\!1\!:\ 6n\!-\!1\equiv 0\,\Rightarrow\,6\color{#c00}n\equiv 1\,$ así que $\, \color{#c00}{x\equiv n} = (p\!+\!1)/6.$

Para otro ejemplo, suponga que tiene un problema que requiere saber si la siguiente matriz tiene determinante no nulo. En lugar de calcular rotundamente el determinante entero, empleamos paridad , observando que las entradas Impares son precisamente las entradas diagonales. Así, mod $\,2,\,$ es la matriz identidad, por lo que el determinat es $\equiv 1\pmod {2},\,$ es decir, el determinante es impar, por tanto, no nulo.

$$\begin{bmatrix} 1234567 &1234568 &1234560 \\ 1234562 & 1234563 &1234564 \\ 1234566 &1234566 &1234568 \end{bmatrix} $$