Derivado de la magnitud de un vector. ¿Existe, o no?

Question

Tengo una situación de desconcierto con derivados. Quiero derivados: $$ \frac{d}{dx}| \mathbf F(x)| $$

De hecho, esta fue cosa de la física. Vamos a ser 2-dimensional de la simplicidad. Deje que una partícula se encuentra en la posición $\mathbf r = (x, y)$. La distancia $s$ de la partícula de un punto a a $(0, 0)$ es simplemente $s = |\mathbf r|$. Quiero para calcular la distancia que los cambios en el tiempo. $$ \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}|\mathbf r| = \frac{d}{dt}\sqrt{x(t)^2 + y(t)^2} = \frac{1}{\sqrt{x(t)^2 + y(t)^2}}\left(x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt}\right) = \frac{1}{|\mathbf r|}\left(x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt}\right) $$

Como se puede ver, $ds/dt$ no está definida cuando $|\mathbf r| = 0$. Yo no puedo ver por qué. En la física punto de vista, la partícula siempre deben viajar continuamente en el plano (suponiendo que el camino se hace es continua y completamente diferenciables). ¿Por qué es la distancia variación indefinidos? Supongamos, por ejemplo, tengo una tabla, y $(x, y)$ es la posición de mis dedos. No veo por qué no existen.

Hipótesis: Observe que, por la descripción que me dijo, la curva de $(x, y)$ es continua en todos los puntos, y lisa/diferenciable en todos los puntos. Por lo tanto, $x(t), y(t), x'(t), y'(t)$ está bien definido, para todos los puntos. Si lo desea, considere la clase de $C^\infty$.

Mi pregunta: ¿esto derivado de que existan o no al $|\mathbf r| = 0$? ¿Cuál es el valor/valoración de derivados, en cualquier período dado $t_0$ al $|\mathbf r| = 0$?

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Considerando $x(t) = t^2$$y(t) = t^2$, obtenemos $s$ proporcional a $t^2$, y por lo tanto su derivada existe en $t=0$ con el derivado de tener bien definido el valor de cero.

Answer 1

CASO $1$: $\vec r(t)\ne 0$

Tenga en cuenta que para $\vec r \ne 0$, podemos escribir

$$\begin{align} \frac{ds(t)}{dt}&=\frac{\vec r(t)\cdot \frac{d\vec r(t)}{dt}}{|\vec r(t)|}\\\\ &=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\hat r(t)\cdot \frac{d\vec r(t)}{dt}} \tag 1 \end{align}$$

donde en $(1)$, $\hat r(t)=\frac{\vec r(t)}{|\vec r(t)|}$ es la posición de la unidad de vectores. Sin embargo, el vector unitario $\hat r$ no está definido en el origen.

Este hecho no implica automáticamente que el derivado $s'(t)$ no existen en $\vec r=0$. En el análisis siguiente, vamos a explorar si $s'(t)$ existe en $\vec r=0$.

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CASO $2$: $\vec r(t)=0$

Suponga que en $t_0$, $\vec r(t_0)=0$. Suponemos que $\vec r''(t)$ existe. Entonces, la derivada de $s(t)$$t_0$, si es que existe, está dada por

$$\begin{align} s'(t_0)&=\lim_{h\to 0}\left(\frac{\left|\vec r(t_0+h)\right|-\left|\vec r(t_0)\right|}{h}\right)\\\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{\left|\vec r(t_0+h)\right|}{h} \\\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{\left|\vec r'(t_0)h+O(h^2)\right|}{h} \\\\ &=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{h\to 0}\left(\frac{|h|}{h}\,\left|\vec r'(t_0)+O(h)\right|\right)} \tag2 \end{align}$$

Si $\vec r'(t_0)=0$, luego de $(2)$ vemos que $s'(t_0)=0$ también. Sin embargo, si $\vec r'(t_0) \ne 0$, entonces el límite no existe ya que los límites de la mano derecha y la mano izquierda son desiguales.

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Poner todo junto, nos encontramos con que

$$s'(t)=\begin{cases}\hat r(t)\cdot \frac{d\vec r(t)}{dt} &,\vec r(t) \ne 0\\\\0&,\vec r(t)=\vec r'(t)=0\\\\\text{fails to exist}&,\vec r(t) =0,\vec r'(t)\ne 0\end{cases}$$

Answer 2

Su confusión se deriva de una sutileza con respecto a la diferenciación de los compuestos de funciones. En particular, el cálculo de $s'(t)$ utiliza la regla de la cadena, pero la regla de la cadena tiene hipótesis.

Definir $s$ $f\circ g$ donde $g$ envía $t\mapsto\mathbf{x}(t)$ $f$ envía $\mathbf{x}\mapsto\|\mathbf{x}\|$. La regla de la cadena nos permite concluir que $s'(t)$ existe y es lo que dicen que es, pero sólo bajo la hipótesis de que $g$ es diferenciable en a $t$ $f$ es diferenciable en a $\mathbf{x}(t)$. Por desgracia, la función de $f$ es no diferenciable al $\mathbf{x}=\mathbf{0}$, de modo que la regla de la cadena no se aplica en el caso en que la partícula está en el origen. Estamos a la conclusión de que la $s'(t)$ no debe existir al $\mathbf{x}=\mathbf{0}$?

No! No es tan contrario a la regla de la cadena; la derivada de la composición que todavía puedan existir. En otras palabras, la regla de la cadena de suministros suficientes pero no necesarias condiciones para la derivada de un compuesto de existir. Ver a esta pregunta, lo que implica un ejemplo similar a su ejemplo de con $x=y=t^2$.

Answer 3

Como se puede ver, $ds/dt$ no está definida cuando $|\mathbf r| = 0$. Yo no puedo ver por qué. En la física punto de vista, la partícula siempre deben viajar continuamente en el plano (suponiendo que el camino se hace es continua y completamente diferenciables). ¿Por qué es la distancia variación indefinidos? Supongamos, por ejemplo, tengo una tabla, y $(x, y)$ es la posición de mis dedos. No veo por qué no existen.

El mismo fenómeno sucede en una dimensión, y es un ejemplo de lo que sucede en la dimensión más grande: la distancia de La $0$$x$$|x|$. Si una partícula se desplaza a velocidad de unidad a lo largo de un camino suave que pasa por el origen, la tasa de cambio de la distancia desde el origen a los saltos de $-1$ $1$en el instante en que la partícula llega al origen. (Si desea dividir los pelos, esta cualitativos del lenguaje tiene que ser apretado: Si $f(t) = |t|$, $f'(t) = -1$ todos los $t < 0$ $f'(t) = 1$ todos los $t > 0$, pero $f'(0)$ no existe.)

La distancia al origen de un objeto determinado todavía puede ser diferenciable como una función del tiempo (por ejemplo, si la partícula se encuentra en el origen de todos los tiempos), pero eso no es lo mismo que decir el "escalar campo" $\mathbf{r}$ es diferenciable en el origen.

Esta es la razón por la diferencial de los geómetras casi siempre trabajo con regular curvas, aquellos cuya velocidad es no-fuga: Incluso un real-analítica de la asignación, como una cicloides, o hypocycloid tales como la astroid, puede trazar una curva con esquinas o aristas.