Pregunta elemental en geometría diferencial

Question

Estoy tratando de aprender geometría diferencial (es decir, enseñar a mí mismo!) Así que aquí es una pregunta que me surgió.

Para algunos $h > 0$, considerar el cono

$C_h = \{ (x,y,z) \; : \; 0 \le z = \sqrt{x^2 + y^2} < h \} \subset \mathbb{R}^3$

dotado de la topología de subespacio. Parece que se puede cubrir este con un solo gráfico de $(U,\phi)$ donde $U = C_h$ $\phi$ es la proyección de la $\phi(x,y,z) = (x,y)$. Así que parece que esto define una estructura diferenciable y podemos obtener una superficie lisa ($C^\infty$) 2-dimensiones del colector. (Es correcto?)

Ahora considere la inclusión de mapa de $i : C_h \to \mathbb{R}^3$, es esta mapas de lisa? No me parece a mí que es. La expresión de $i$ en la tabla anterior no es suave en$(0,0)$, y no parece ser capaz de encontrar cualquier otro compatible gráfico en torno a cero, lo que tiene un suave representación. (No lo pensaron mucho, aunque). Si esto es cierto ¿cómo una muestra de que este mapa no es suave. (También, si esto es cierto, una vaga pregunta es si la eliminación de la de origen es la única manera de solucionar este problema)

Answer 1

Usted ha dotado $C_h$ con la estructura de un resumen del colector , sino $C_h$ no es un submanifold de $\mathbb R^3$. El hecho de que su conjunto no es un submanifold se reduce a dos observaciones:

(1) El hecho de que su mapa se $i$ no es diferenciable en el origen

y

(2) Una aplicación del teorema de la función implícita da la prueba por contradicción. El teorema de la función implícita dice que si su set fue un submanifold, $i$ tendría que ser suave, técnicamente, usted tiene que considerar las otras dos coordenadas de las proyecciones $(x,y,z) \to (y,z)$, $(x,y,z) \to (x,z)$ pero $C_h$ no cumple con la "línea vertical de la regla de" lo que no puede ser una gráfica de una función de $(y,z)$ o $(x,z)$.