¿Cuántos pares de enteros positivos $(x,y)$ satisfacen la ecuación $x^2 - 10! = y^2$ ?

Question

Tengo una pregunta sobre la teoría de los números:

¿Cuántos pares de enteros positivos $(x,y)$ satisfacen la siguiente ecuación? $$x^2 - 10! = y^2$$

Mi intento:

Mueve el $y^2$ ¡de derecha a izquierda y 10! De izquierda a derecha tal que:

$$x^2-y^2= 10!$$

$$(x-y)(x+y)=10!$$

$$(x-y)(x+y)= 10.9.8.7.6.5.4.3.2$$

Hasta este paso, creo que tendré muchas posibilidades de obtener la respuesta, como por ejemplo

$$(x-y)= 10.9$$ y $$(x+y)= 8!$$

También

$$(x-y)= 10.9.8$$ y $$(x+y)= 7!$$

Y otras posibilidades, como $$(x-y)=10.9.8.7$$ y $$(x+y)=6!$$

Y así hasta $$(x-y)=10.9.8.7.6.5.4.3.2$$ y $$(x+y)=1$$

Y creo que resolver toda la posibilidad es un trabajo un poco tedioso. ¿Puede alguien ayudarme a encontrar una solución mejor para resolver este tipo de problema?

Gracias

Answer 1

$10!=2^83^45^27$
Se quiere dividir en dos factores, uno de los cuales es un múltiplo de $7$ .
Los factores deben ser ambos pares, de lo contrario $x$ y $y$ no serán enteros.
Así que el factor que incluye $7$ debe tener de uno a siete 2; de cero a cuatro 3 y de cero a dos 5. ¿Cuántas opciones hay en total?

Answer 2

Escriba $10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2 =2^83^45^27 $ .

Usted quiere $(x+y)(x-y)=10!=ab$ con $x+y=a$ y $x-y=b$ . Entonces $x = (a+b)/2$ y $y = (a-b)/2$ . Así que $a$ y $b$ tienen que tener la misma paridad.

A continuación, elija $2^a3^b5^c7^d$ con todas las opciones posibles que satisfagan lo anterior. Como tienen que tener la misma paridad, $a$ debe tener $2^n$ donde $1 \le n \le 6$ .

Esto es un comienzo.

Answer 3

$105$ pares.

Como dijo Marty Cohen: " $(x+y)(x-y)=10!=ab$ con $x+y=a$ y $x-y=b$ . Entonces $x = (a+b)/2$ y $y = (a-b)/2$ . Así que $a$ y $b$ tienen que tener la misma paridad".

$10!=2^{\color{red}{8 }}\cdot 3^{\color{red}{4}}\cdot 5^{\color{red}{2}} \cdot 7^{\color{red}{1}} \implies (\color{red}{8}+1)(\color{red}{4}+1)(\color{red}{2}+1)(\color{red}{1}+1)=270 \ $ divisores en $10! \ $ . Desde $10!$ es un número par, cada divisor debe ser par para que $x$ y $y$ saldrán como números enteros cuando los divisores se sumen o resten y posteriormente se dividan por $2$ .

Así que necesitamos

1. todas las formas $p=p_1\cdot p_2=3^4\cdot 5^2 \cdot 7^1$ puede dividirse en dos divisores, ... cruzados con
2. todas las formas de distribuir el $2^8$ en dos factores, de manera que cada factor tenga al menos un $2$

Para,

1. $p=3^4\cdot 5^2 \cdot 7^1$ puede dividirse en $\frac{270}{(\color{red}{8}+1)}=30$ diferentes factores, es decir $\frac{30}{2}=15$ elecciones únicas de pares de factores $p_1 \cdot p_2\ $ ya que el orden de $p_1$ y $p_2$ no cambia el resultado.

Y para

2. Hay $(2^7p_1 \cdot 2^1p_2) \cdots (2^1p_1 \cdot 2^7p_2)$ para cada elección de $p_1 \cdot p_2$ y veo $7$ de ellos.

Así que veo $7\cdot 15 =105$ diferentes maneras en que podemos escribir $(x,y)$ hacia abajo para que $x^2-y^2=10!$ .