Suma relacionada con Fibonacci

Question

En relación con esta pregunta Encontrar una solución para $f\left(\frac{1}{x}\right)+f(x+1)=x$ ¿Cuál es esta suma? $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{F_n}{F_{n+1}}-\frac1{\phi}\right)$$ donde $F_n$ es el $n$ número de Fibonacci y $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}2$ es la proporción áurea.
Es la (negativa de la) suma de todos los huecos, porque la proporción alterna por encima y por debajo de la proporción áurea.

Answer 1

Nota: Ya se ha dado mucha información en la sección de comentarios a la pregunta de la OP. Algunos aspectos de mi respuesta se indican allí, de modo que esta respuesta puede ser visto como suplemento a la sección de comentarios .

En primer lugar: revisé algunos documentos relativos a serie recíproca de sumas de Fibonacci y parece que hay ninguna fórmula cerrada para la serie OPs. A continuación se exponen los argumentos a favor de esta afirmación.

Podemos escribir la serie OPs como:

$$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{F_n}{F_{n+1}}-\frac{1}{\phi}\right) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{2n}F_{2n+1}}\tag{1} \end{align*}$$

desde

$$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}&(-1)^n\left(\frac{F_n}{F_{n+1}}-\frac{1}{\phi}\right)\\ &=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{2N}(-1)^n\left(\frac{F_n}{F_{n+1}}-\frac{1}{\phi}\right)\\ &=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{F_{2n}}{F_{2n+1}}-\frac{F_{2n-1}}{F_{2n}}\right)\\ &=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}\frac{F_{2n}^2-F_{2n-1}F_{2n+1}}{F_{2n}F_{2n+1}}\\ &=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}\frac{-1}{F_{2n}F_{2n+1}}\tag{2}\\ &= -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{2n}F_{2n+1}} \end{align*}$$

En (2) utilizamos _La identidad de Cassini $F_{n}^2-F_{n-1}F\{n+1}=(-1)^{n-1}$ .

Es fácil ver que la serie

$$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_n} \end{align*}$$ es absolutamente convergente (véase, por ejemplo A.F. Horadam (1986) ). Por lo tanto, la convergencia de la serie OPs sigue debido a $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{2n}F_{2n+1}}<\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_n}$ .

Ahora nos centramos en la serie:

$$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{2n}F_{2n+1}}\tag{3} \end{align*}$$

y observe que según S. Rabinowitz (1999) hay no se conoce una solución sencilla para las series siguientes

$$\begin{align*} \mathbb{F}_N=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_n},\qquad \mathbb{G}_N=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{F_n},\qquad \text{and} \qquad \mathbb{K}_N=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_nF_{n+1}} \end{align*}$$

La serie (3) es no alternativo y estructuralmente similares a $\mathbb{K}_N$ . Por lo tanto, si no hay nuevos conocimientos desde que se escribió este artículo, parece plausible que tampoco exista una fórmula cerrada para (3).

¿Qué podemos hacer? Una forma es intentar expresar otras series recíprocas más complejas de sumas de Fibonacci como expresiones basadas en la bloques de construcción $\mathbb{F}_N,\mathbb{G}_N$ y $\mathbb{K}_N$ . Otra posibilidad es expresarlos a través de otros estándar funciones:

La investigación de $\mathbb{F}_N$ por Catalán 1883 y antes por Lucas 1878 se hizo dividiendo $\mathbb{F}_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_n}$

• en $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{2n-1}}$ expresable en términos de Funciones elípticas jacobianas y

• en $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{2n}}$ expresable en términos de Serie Lambert

Landau elaborado a partir de la presentación de resultados de Catalán en términos de Funciones Theta (véase A.F. Horadam ).

Estos son los normalmente utiliza bloques de construcción para expresar la serie recíproca de las sumas de Fibonacci. Centrándose en las series de pedir dos que encontramos, por ejemplo, en Una solución a un problema tentador de G. Almkvist (1984) $$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{2n}^2}= \frac{5}{24}\left(1+\frac{1}{\pi^2}\frac{\vartheta_{1}^{\prime\prime}}{\vartheta_{1}^{\prime}}\right)\qquad\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{2n-1}^2}= -\frac{5}{8\pi^2}\frac{\vartheta_{3}^{\prime\prime}}{\vartheta_{3}} \end{align*}$$

a representaciones en términos de funciones Theta o en R.S. Melham (1998) encontramos

$$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_n^2},\qquad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{2n}^2},\qquad\text{and}\qquad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{2n-1}^2} \end{align*}$$ expresado en términos de Serie Lambert

$$\begin{align*} L(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{1-x^n}\qquad |x|< 1 \end{align*}$$

y también en R.Andre-Jeannin (1988) encontramos

$$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_nF_{n+1}} =2\sqrt{5}\left[L\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)-2L\left(\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\right)+2L\left(\frac{47-21\sqrt{5}}{2}\right)\right]+\frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{align*}$$

en términos de series de Lambert. Seguimos este Ansatz imitar su prueba del Lemma 2 y expresar la serie (3) también en términos de series de Lambert.

Es válido lo siguiente

$$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{2n}F_{2n+1}}&=\sqrt{5}\left[L(\psi^2)-2L(\psi^4)+2L(\psi^8)\right]+\psi\\ &=\sqrt{5}\left[L\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)-2L\left(\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\right) +2L\left(\frac{47-21\sqrt{5}}{2}\right)\right]+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ &=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_nF_{n+1}}+\frac{1-\sqrt{5}}{4} \end{align*}$$

Utilizamos $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ y $\psi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-\frac{1}{\phi}$ y observa

$$\begin{align*} \phi F_{2n+1}+F_{2n}&=\phi \frac{\phi^{2n+1}-\psi^{2n+1}}{\phi-\psi}+\frac{\phi^{2n}-\psi^{2n}}{\phi-\psi}\\ &=\frac{1}{\phi-\psi}\left[\phi\left(\phi^{2n+1}+\frac{1}{\phi^{2n+1}}\right)+\left(\phi^{2n}-\frac{1}{\phi^{2n}}\right)\right]\\ &=\frac{1}{\phi-\psi}\left(\phi^{2n+2}+\phi^{2n}\right)\\ &=\frac{\phi^{2n+1}}{\phi-\psi}\left(\phi+\frac{1}{\phi}\right)\\ &=\phi^{2n+1} \end{align*}$$

Esto implica

$$\begin{align*} \frac{1}{\phi^{2n}F_{2n}}+\frac{1}{\phi^{2n+1}F_{2n+1}}&=\frac{\phi F_{2n+1}+F_{2n}}{\phi F_{2n}F_{2n+1}} =\frac{1}{F_{2n}F_{2n+1}} \end{align*}$$

Y obtenemos

$$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\phi^n F_n} &=\frac{1}{\phi}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\phi^{2n}F_{2n}}+\frac{1}{\phi^{2n+1}F_{2n+1}}\right)\\ &=\frac{1}{\phi}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{2n}F_{2n+1}}\tag{4} \end{align*}$$

Según el lema 3 de R.Andre-Jeannin (1988) la siguiente identidad es válida:

$$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\phi^n F_{n}}=\sqrt{5}\left[L(\psi^2)-2L(\psi^4)+2L(\psi^8)\right]\tag{5} \end{align*}$$

Comparando el lado derecho de (4) y (5) y observando que $\frac{1}{\phi}=-\psi$ la reclamación sigue.

Nota: Información adicional sobre fórmulas cerradas . En Suma de infinitas series de Fibonacci del hermano A. Brousseau (1969) encontramos algunas identidades de sumas recíprocas de orden dos. Una de ellas es la suma alterna

$$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{F_nF_{n+k}}=\frac{1}{F_k}\left[k\phi^{-1}-\sum_{j=1}^k\frac{F_{j-1}}{F_j}\right]\qquad k\geq 1 \end{align*}$$

Vemos además que la serie no alterna $$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_nF_{n+k}}\qquad k\geq 1 \end{align*}$$ tiene una fórmula cerrada cuando $k$ es incluso y cuando $k$ es impar es expresable como $a+b\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_nF_{n+1}}$ con $a,b$ números racionales, por lo que $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_nF_{n+1}}$ se utiliza como bloque de construcción.

Algunos ejemplos:

$$\begin{align*} &\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_nF_{n+2}}=1\qquad&\qquad &\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{n}F_{n+3}}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{n}F_{n+1}}-\frac{1}{4}\\ \\ &\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_nF_{n+4}}= \frac{7}{18}\qquad&\qquad &\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{n}F_{n+3}}=\frac{1}{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{n}F_{n+1}}-\frac{17}{150} \end{align*}$$