Estoy tratando de probar que lo contrario del teorema de Lagrange es cierto para los grupos abelianos finitos (es decir, "dado un grupo abeliano $G$ de orden $m$ para todos los divisores positivos $n$ de $m$ , $G$ tiene un subgrupo de orden $n$ "). Este es un ejercicio de un libro, y está en la sección de grupos abelianos finitos, así que sé que tengo que usar el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos. He llegado a una prueba, pero parece un poco desordenada, y no estoy del todo seguro de que sea correcta. Se da a continuación.
Que el orden de $G$ ser $m$ = $p_1^{ \alpha_1 } \ldots p_k^{ \alpha_k }$ . Se sabe que $G$ es un producto directo de $p$ -grupos, digamos:
$$G = G_1 \times \ldots \times G_k$$
donde cada uno $G_i$ es un $p_i$ -grupo. Por el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos, cada uno $G_i$ es isomorfo a un producto directo de grupos cíclicos de la forma
$$ \mathbb {Z}_{{p_i}^{ \beta_1 }} \times \ldots \times \mathbb {Z}_{{p_i}^{ \beta_l }},$$
donde $ \beta_1 , \ldots , \beta_l $ son enteros positivos tales que $ \sum_ {j=1}^l \beta_j = \alpha_i $ . Ahora si $n$ divide $m$ entonces debemos tener
$$n = p_1^{ \gamma_1 } \ldots p_k^{ \gamma_k }$$
para algunos $ \gamma_1 , \ldots , \gamma_k $ con $0 \leq \gamma_i \leq \alpha_i $ .
Reclamación : Cada uno $G_i$ tiene un subgrupo de orden $p_i^{ \gamma_i }$
Prueba : Como arriba, tenemos que
$$ G_i \cong \mathbb {Z}_{{p_i}^{ \beta_1 }} \times \ldots \times \mathbb {Z}_{{p_i}^{ \beta_l }} $$
donde $ \beta_1 , \ldots , \beta_l $ son enteros positivos tales que $ \sum_ {j=1}^l \beta_j = \alpha_i $ .
Ahora bien, desde $0 \leq \gamma_i \leq \alpha_i $ podemos encontrar $l$ números $ \delta_1 , \ldots , \delta_l $ de tal manera que $ \gamma_i = \sum_ {j=1}^l \delta_j $ y $0 \leq \delta_j \leq \beta_j $ . (Esta elección de números no es necesariamente única).
Luego $p_i^{ \delta_j } | p_i^{ \beta_j }$ para cada uno $j = 1, \ldots , l$ . Por lo tanto, para cada factor $ \mathbb {Z}_{{p_i}^{ \beta_j }}$ existe un subgrupo de orden $p_i^{ \delta_j }$ a saber $ \mathbb {Z}_{{p_i}^{ \delta_j }}$ (usando el hecho de que lo contrario del teorema de Lagrange es cierto para los grupos cíclicos finitos). Tomando el producto directo de cada uno de estos subgrupos, obtenemos un nuevo subgrupo $G_i'$ de $G_i$ :
$$G_i' \cong \mathbb {Z}_{{p_i}^{ \delta_1 }} \times \ldots \times \mathbb {Z}_{{p_i}^{ \delta_l }}$$
El orden de este subgrupo es $p_i^{ \delta_1 } \times \ldots \times p_i^{ \delta_l } = p_i^{ \delta_1 + \ldots + \delta_l } = p_i^{ \gamma_i } $ . Así que hemos encontrado un subgrupo de $G_i$ de orden $p_i^{ \gamma_i }$ como se requiere.
Así que cada factor $G_i$ en el producto $G = G_1 \times \ldots \times G_k$ tiene un subgrupo $G_i'$ de orden $p_i^{ \gamma_i }$ .
Por lo tanto, $G$ tiene un subgrupo $$G_1' \times G_2' \times \ldots \times G_k'$$
de orden $p_1^{ \gamma_i }...p_k^{ \gamma_k } = n$ que completa la prueba.
Tengo dos preguntas sobre esto: primero, ¿esta prueba parece funcionar? En segundo lugar, ¿hay alguna manera de hacer la prueba más concisa (por ejemplo, una manera de probar la declaración sin usar todos estos índices)?
