Métricas en $\Bbb{R}^n$ que viene de una función continua

Question

He estado luchando para demostrar el siguiente hecho durante algún tiempo ahora, y no he podido hacerlo.

Supongamos $W : \Bbb{R}^n \to \Bbb{R}_+$ es de tipo continuo, función positiva, con exactamente $n$ ceros $\alpha_1,...,\alpha_n$. Defina los siguientes "a distancia":

$$ d(\xi_i,\xi_j)=\inf\left\{\int_0^1 \sqrt{W(\gamma(t))}| \gamma'(t)|dt : \gamma \in C^1([0,1];\Bbb{R}^n), \gamma(0)=\xi_i,\ \gamma(1)=\xi_j\right\}$$

Supongamos que tengo un conjunto de números positivos $\sigma_{ij}>0,\ i \neq j$ con la propiedad de que $\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$$\sigma_{ij} \leq \sigma_{ik}+\sigma_{kj},i,j,k=1,...,n$.

Mi pregunta es:

Podemos encontrar $\alpha_i, i=1..n$ $W$ con las propiedades deseadas, que $d(\alpha_i,\alpha_j)=\sigma_{ij}$?

He pedido a la pregunta sobre MathOverflow también, y recibió una respuesta que no es completa y no pude terminar de mí mismo. Es posible demostrar la existencia de una función, si existe un número finito de espacio métrico con distancias de $\sigma_{ij}$ que puede ser incrustado en $\Bbb{R}^n$, pero me gustaría probar el caso general también.

Creo que han demostrado ser una forma más débil, que existe una secuencia de funciones continuas $W_n$ tales que las distancias correspondientes a $d^n(\alpha_i,\alpha_j)$ convergen a $\sigma_{ij}$. Hice esto por la incrustación en el $\Bbb{R}^n$ un conjunto de $n$ puntos con pares distancia $1$. A continuación, defina una función $f$ en la unión $K$ de los segmentos con estos extremos tales que el camino de la integral en cada segmento de $[\alpha_i,\alpha_j]$$\sigma_{ij}$. A continuación, extender $f$ para el conjunto de la $\Bbb{R}^N$ continuamente y de manera positiva y considerar la posibilidad de $\sqrt{W_\varepsilon(x)}=f(x)+\frac{1}{\varepsilon}d(x,K)$. Entonces usé $\Gamma$-convergencia truco para conseguir que los límites de minimizers $d^\varepsilon(\alpha_i,\alpha_j)$ $W_\varepsilon$ $\varepsilon \to 0$ son, de hecho,$\sigma_{ij}$.

Tengo un par de preguntas:

1. Parece que he utilizado la existencia de geodesics, es decir, la distancia a la minimización de caminos entre el $\alpha_i,\alpha_j$. He oído hablar de Hopf-Rinow teorema, pero nunca la he utilizado este teorema. Es aplicable aquí?

2. La existencia de la secuencia de funciones de $W_\varepsilon$ de manera tal que los respectivos geodesics con longitudes $d^\varepsilon(\alpha_i,\alpha_j) \to \sigma_{ij}$ implica de alguna manera la existencia de mi función deseada?

3. Hay otra manera de abordar el problema? Traté de considerar funciones de la forma $$ W(x)=\prod_{i=1}^n |x-\alpha_i|^2 \cdot \sum_{1\leq i<j \leq n} a_{ij}x_i^2x_i^2 $$ de modo que la función tiene tantos parámetros como el deseado distancias $\sigma_{ij}$. El problema es que cuando $a_{ij}$ cambio, la minimización de la ruta, si existe también cambian, y esto no es un problema de programación lineal.

Tengo la sensación de que la respuesta a esta pregunta no puede ser desconocido, pero no he encontrado una prueba o referencia hasta ahora.

Answer 1

He aquí una fuerza bruta de la construcción que creo que funciona. Si no, entonces, bueno, al menos es un comienzo. Voy a tratar de ser lo más preciso posible. Aquí está la declaración que me gustaría probar.

Deje $n\geq 2$ ser un número entero, y deje $\sigma_{ij}$ $i,j\in \{1,\ldots, n\}$ ser números reales como la dada en el problema. Deje $\alpha_1,\ldots, \alpha_n$ ser cualquier distintos puntos en $\mathbb{R}^3$. Entonces, hay una continua $W\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}_{\geq 0}$ que se desvanece, precisamente, en el $\alpha_i$ tal que $d_W(\alpha_i,\alpha_j) = \sigma_{ij}$ donde $d_W$ es la distancia inducida por $W$ como se describe en el problema.

Es fácil ver que si se pudiera probar esto, entonces se mantiene en $\mathbb{R}^m$ todos los $m\geq 3$, simplemente mediante la incorporación de $\mathbb{R}^3\subseteq\mathbb{R}^m$. El caso de $\mathbb{R}^2$ parece un poco complicado, y voy a hablar de ello más tarde.

Lema 1. Supongamos que $\alpha_1,\ldots, \alpha_n\in \mathbb{R}^3$ son distintos puntos de tal manera que hay un $W$ resolver el problema de la $\alpha_i$. Deje $\beta_1,\ldots, \beta_n\in \mathbb{R}^3$ ser cualquier otros puntos distintos. Luego hay un $W'$ resolver el problema de la $\beta_i$.

Prueba: Vamos a $h\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ ser un homeomorphism asignación de $\beta_i$$\alpha_i$. Para obtener $W'$ usted necesita sólo tire de la métrica inducida por $W$ través $h$.

Gracias a este lema, es suficiente para demostrar la existencia de $W$ para cualquier (conveniente) conjunto de puntos de $\alpha_1,\ldots, \alpha_n\in \mathbb{R}^3$. Voy a elegir a $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ como sigue.

De la asunción. Deje $L_{ij}$ el valor del segmento de línea recta que conecta $\alpha_i$$\alpha_j$. Asumimos $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ son tales que dos distintas $L_{ij}$ sólo puede cruzan en sus extremos. Por otra parte, suponemos que la $\|\alpha_i - \alpha_j\|\ll\sigma_{ij}$.

Esta suposición muy utiliza el hecho de que estemos en $\mathbb{R}^3$; no iba a funcionar en $\mathbb{R}^2$.

Voy a utilizar la siguiente notación.

• $B_i$ denotará el abierto Euclidiana pelota alrededor de $\alpha_i$ radio $\delta>0$ donde $\delta$ es pequeña comparada con la distancia Euclídea entre el $\alpha_i$, decir $\delta = 10^{-8}\min_{i\neq j}\|\alpha_i - \alpha_j\|$.
• $T_{ij}$ denotará el conjunto abierto $\{x\in \mathbb{R}^3 : d(x,L_{ij})<\varepsilon\}$ donde $\varepsilon\ll\delta$ será determinado más adelante.
• $M$ indican una gran constante positiva, que se determinará más adelante.

La función de $W$ será definida a trozos.

Paso 1: Para $x\in \mathbb{R}^3$ tal que $x\notin \bigcup_i B_i\cup \bigcup_{ij} T_{ij}$, definimos $W(x) = M$.

Paso 2: Elija $\varepsilon$ ser lo suficientemente pequeño como para que cualquiera de los dos distintos $T_{ij}$ tienen intersección contenida dentro de una de las $B_i$. Siempre se puede hacer esto por nuestra suposición en el $\alpha_i$. Será el próximo definir $W$ en el conjunto de $\bigcup_{ij}T_{ij}\smallsetminus\bigcup_i B_i$. Este conjunto es un discontinuo de la unión de "cilindros" $T_{ij}\smallsetminus (B_i\cup B_j).$$x\in T_{ij}\smallsetminus (B_i\cup B_j)$, vamos a $\pi_{ij}(x)$ el valor del punto más cercano de la $L_{ij}$$x$. Comenzamos por la elección de un continuo de "bump" la función $f_{ij}\colon L_{ij}\to \mathbb{R}$ $\geq 1$ en todas partes, es$\equiv 1$, excepto en un pequeño barrio de el punto medio de la $L_{ij}$, y es $\equiv \Lambda_{ij}>1$ en un pequeño barrio de el punto medio. Aquí $\Lambda_{ij}$ es una constante a determinar, pero siempre vamos a suponer que $M\gg \Lambda_{ij}$ ajustando $M$ si es necesario. Definir $W$ $T_{ij}\smallsetminus B_i\cup B_j$ por $$W(x) = M\frac{d(x,L_{ij})}{\varepsilon} + f_{ij}(\pi(x))\left(1 - \frac{d(x,L_{ij})}{\varepsilon}\right).$$ Note that $W$ is radially symmetric in $T_{ij}\smallsetminus (B_i\copa B_j)$ around $L_{ij}$ and increasing with radius. It follows, in particular, that the line $L_{ij}$ is minimal geodesic for this $W$.

Paso 3: sólo queda por definir $W$ en las bolas $B_i$. Actualmente, $W$ es definida y continua en $\partial B_i$ por cada $i$. Definimos $W$ $B_i$ por $$B(x) = \frac{\|x - \alpha_i\|}{\delta}W\left(\alpha_{i} + \delta \frac{x - \alpha_i}{\|x - \alpha_i\|}\right).$$ Note that the minimum value of $W$ in $\partial B_i$ is $1$, and this value is obtained exactly at the points $L_{ij}\cap \partial B_i$. It follows that the segments $L_{ij}\cap B_i$ are minimal geodesic segments for $W$ in $B_i$.

Así que ahora que hemos construido $W$. Es continua, se desvanece, precisamente, en el $\alpha_i$, y tenemos que mostrar que el $L_{ij}$ son geodesics para $W$. Esto es lo que nos da:

Paso 4: Por el ajuste de la $\Lambda_{ij}$, podemos hacer que la longitud de $L_{ij}$ igual a $\sigma_{ij}$. Por lo tanto, obtener geodésica segmentos de $L_{ij}$ $\alpha_i$ $\alpha_j$de exactamente la longitud correcta. Por otra parte, haciendo $M$ lo suficientemente grande, podemos asegurar que estas geodesics son mínimas: si $M$ es lo suficientemente grande, no mínimo geodésica de $\alpha_i$ $\alpha_j$pasará a través de la región de $\mathbb{R}^3\smallsetminus (\bigcup_k B_k\cup\bigcup_{k,l}T_{kl})$.

Creo que esto de la construcción, a pesar de que un dolor de escribir, trabaja para $\mathbb{R}^3$. En $\mathbb{R}^2$ no funciona ya que no se puede elegir el $\alpha_i$ como en nuestra suposición. Con el fin de adaptar este método a $\mathbb{R}^2$, algo que se puede hacer sería la de elegir su $\alpha_i$, y considere la gráfica de $\bigcup_{ij}L_{ij}$. Asignar a cada arista de un peso tal que $\alpha_i$ $\alpha_j$ están a una distancia $\sigma_{ij}$ de diferencia con respecto a estos pesos. A continuación, puede hacer el procedimiento anterior para construir un $W$, lo que hace que cada una de las aristas en el grafo mínimo geodésica con una longitud igual a la del peso.

Espero que todo esto funciona. Tengo curiosidad por escuchar lo que la gente piensa.