Si $\dim(V) $ es infinito, demuestre que $V\oplus V$ es isomorfo a $V$

Question

Para un espacio vectorial $V$ de dimensión infinita, para demostrar que $V\oplus V$ es isomorfo a $V$ es demostrar que existe una transformación lineal invertible entre $V \oplus V $ y $V$ .

Todo espacio vectorial tiene una base. Si $B$ es el conjunto infinito de bases para $V$ entonces el conjunto $B\oplus0 \cup 0\oplus B$ es la base de $V \oplus V$ . Utilizando el axioma de elección la cardinalidad $|B\oplus0 \cup 0\oplus B|= |B\oplus0|+|0 \oplus B|=|B|+ |B| = \max\{|B|,|B|\}= |B|$ y luego intentaba argumentar que esto implica que existe un isomorfismo entre las bases de $V\oplus V$ y $V$ por lo que son isomorfas. Pero no estoy seguro de cómo $|B|+|B|=\max\{|B|,|B|\}= |B|$ es verdadera por el axioma de elección. ¿Cómo podríamos demostrar que si $V$ es un espacio vectorial de dimensión infinita, entonces $V\oplus V \cong V$ ?

Answer 1

Tu argumento es bueno, sólo necesitas terminarlo.

Asumiendo la elección, se puede considerar una base $\mathcal{B}$ de $V$ . Entonces el conjunto $\mathcal{C}=\{(v,0):v\in\mathcal{B}\}\cup\{(0,v):v\in\mathcal{B}\}$ es una base para $V\oplus V$ .

Desde $\mathcal{B}$ es infinito, existe una biyección $f\colon\mathcal{C}\to\mathcal{B}$ porque $\mathcal{C}$ no es más que la unión disjunta de dos copias de $\mathcal{B}$ . Entonces el mapa lineal $T\colon V\oplus V\to V$ definido en $\mathcal{C}$ por $T(w)=f(v)$ y extendida por linealidad, es un isomorfismo, porque envía una base a una base.

Obsérvese que la elección es necesaria en dos lugares: para obtener una base para $V$ y utilizar ese $|X|+|X|=|X|$ cuando $X$ es un conjunto infinito.

Answer 2

Dado que su espacio vectorial $V$ es de dimensión infinita, sea $b_1, b_2, \dots, b_n, \dots$ sea una base de $V$ . Entonces el conjunto $$(B \oplus 0) \cup (0 \oplus B) = \{b_1 \oplus 0, b_2 \oplus 0, \dots, 0 \oplus b_1, 0 \oplus b_2, \dots\}$$

constituye una base de $V \oplus V$ .

Suponiendo que la dimensión de $V$ es contable, la dimensión de $V \oplus V$ también es contable. ¿Puedes inventar tú mismo una transformación lineal invertible, pensando en cómo demostrar que $|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}|$ ?

Answer 3

Creo que hay una forma más clara de decirlo :

El axioma de la elección te da una base $B=(b_i)_{i\in I}$ donde $I$ (y por cierto $B$ ) es infinito y puede o no ser contable.

Ahora dado $J_1,J_2\subset I$ tal que $J_1\cup J_2=I$ y $J_1\cap J_2=\emptyset$ está claro que $X_1=(b_j)_{j\in J_1}$ y $X_2=(b_j)_{j\in J_2}$ son tales que $span(X_1)\oplus span(X_2)=V$ .

¿Ahora es posible encontrar $J_1,J_2$ tal que $span(X_1)$ y $span(X_2)$ son cada una isomorfa a $V$ ? (En cuyo caso $V\oplus V\cong span(X_1)\oplus span(X_2)=V$ )

Esto se reduce a la siguiente pregunta :

• Dado un conjunto infinito $I$ ¿es posible encontrar $J_1,J_2\subset I$ tal que $J_1\cup J_2=I$ , $J_1\cap J_2=\emptyset$ y $J_1\sim I$ y $J_2\sim I$ ( $\sim$ se utiliza aquí como una forma (no estándar) de decir "existe una biyección entre los dos")

Ahora bien $I$ es infinito, está en biyección con $I\times\{0,1\}$ (con corriente alterna).

Ahora bien $f$ es su biyección acaba de establecer $J_1=f^{-1}(I\times\{0\}),J_2=f^{-1}(I\times\{1\})$ .

Qed