Cómo integrar la $f( \theta ) = \frac{1}{a + \sin( \theta ) }$?

Question

Deje $a > 1$. Me pregunto cómo evaluar la integral: $$ \int_{0}^{2 \pi } \frac{1}{a + \sin( \theta) } d \theta $$ by means of methods of complex analysis. In the homework assignment, the following hint is given: write $\el pecado( \theta ) = (e^{i \theta } - e^{- i \theta} ) / 2i $ e interpretar la integral (después de algunas manipulaciones algebraicas) como un complejo integral de línea de una función racional sobre la orientación positiva círculo unidad.

Escribo $\theta := t$, así que voy a tener que escribir menos.

Esta es la forma en que me acerqué a la pregunta: sabemos que, a partir de la definición de la línea del complejo integral, $$ \int_{ \alpha } f(t) dt = \int_{a}^{b} f( \alpha (t) ) \alpha ' (t) .$$ En nuestro caso, tenemos $\alpha(t) = e^{i t}$. Por lo tanto, si queremos volver a escribir nuestro "ordinario" integral como un complejo integral de línea, tenemos la ecuación $$ f( \alpha (t) ) \cdot e^{i t} = \frac{1}{a + \frac{ e^{i t} - 1/e^{i t} }{2i} } $$. If we divide both sides by $e^{i t}$, and rewrite the denominator of the resulting fraction a bit, we obtain: $$f( \alpha (t)) = \frac{2i}{e^{2 i t} + 2 i a e^{i t} -1 } . $$ Since we already noted, that $ \alfa(t) = e^{i t} $, I thought that, based on this, we can deduce that $$f(t) = \frac{2i}{t^2 + 2 i a t - 1} $$.

A partir de aquí, no estoy del todo seguro de cómo proceder. Una posibilidad es encontrar las raíces del polinomio en el denominador de la fracción en la integral, por medio de la (abc)-la regla. Obtenemos las raíces $t_1 =i a - \sqrt{1 -a} $$t_2 = i a + \sqrt{ 1 - a }$. Sabemos, que $a >1 $, por lo que podemos reescribir estas raíces: $t_1 = i a - i \sqrt{a-1} = i(a - \sqrt{a-1} $ , e $t_2 = i a + i \sqrt{a-1} = i (a + \sqrt{a-1} ) $, por lo que podemos reescribir nuestra integral de la siguiente manera: $$ \int_{ \alpha } \frac{1}{ (t - t_1) (t-t_2) } $$ . But how do we proceed from here? We don't know the value of $un$, así que no sabemos cómo "grandes" están las raíces. Podríamos utilizar la Integral de Cauchy Fórmula? O algo más? ¿Cómo hacemos uso que se integran más de un positivamente orientada a la unidad de círculo?

Answer 1

Como lo hizo, vamos a $z=e^{i\theta}$. A continuación, $dz=izd\theta$ y $$ \sin\theta=\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right) $$ y por lo tanto \begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi}\frac{1}{a+\sin\theta}d\theta&=&\int_{|z|=1}\frac{1}{a+\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)}\frac{dz}{iz}\\ &=&2\int_{|z|=1}\frac{1}{z^2+2aiz-1}dz\\ &=&2\int_{|z|=1}\frac{1}{(z+ai)^2+a^2-1}dz\\ &=&2\int_{|z|=1}\frac{1}{(z+ai+\sqrt{a^2-1}i)(z+ai-\sqrt{a^2-1}i)}dz\\ &=&2\cdot 2\pi i\text{Res}\left(\frac{1}{(z+ai+\sqrt{a^2-1}i)},z=-ai+\sqrt{a^2-1}i)\right)\\ &=&4\pi i\frac{1}{2\sqrt{a^2-1}i}\\ &=&\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}. \end{eqnarray*}

Otra forma sencilla es utilizar trigonométricas se transforma en lugar de análisis complejo. Deje $t=\tan\frac{\theta}{2}$ y, a continuación,$\sin\theta=\frac{2t}{t^2+1}$$d\theta=\frac{2}{t^2+1}dt$. Así \begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi}\frac{1}{a+\sin\theta}d\theta&=&\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{a+\frac{2t}{t^2+1}}\frac{2}{t^2+1}dt\\ &=&2\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{a(t^2+1)+2t}dt\\ &=&\frac{2}{a}\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{(t+\frac{1}{a})^2+1-\frac{1}{a^2}}dt\\ &=&\frac{2}{a}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}}\left.\arctan\frac{t+\frac{1}{a}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}}\right|_{-\infty}^\infty\\ &=&\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}. \end{eqnarray*}

Answer 2

Voy a empezar donde lo dejó. Los polacos están en

$$z_{\pm} = i (-a \pm \sqrt{a^2-1})$$

Estamos asumiendo $a > 1$, por lo que el $|z_-| > 1$ y está fuera de la integración de contorno. En el otro lado

$$|z_+| = \frac{1}{a+\sqrt{a^2-1}} < 1$$

Así que cuando calculamos los residuos, sólo tenemos que calcular que para $z_+$. El residuo no es

$$\frac{1}{z_+-z_-} = \frac{-i}{2 \sqrt{a^2-1}}$$

Ahora la integral a partir de la cual todo esto fue suspendida

$$\begin{align}\oint_C \frac{dz}{i z} \frac{1}{a + \frac{z-z^{-1}}{2 i}} &= 2 \oint_C \frac{dz}{(z-z_-)(z-z_+)}\\ &= i 2 \pi 2 \frac{-i}{2 \sqrt{a^2-1}}\\ &= \frac{2 \pi}{\sqrt{a^2-1}}\end{align}$$

cual es el valor de las integrales.