Demostrando que $\frac{e^x + e^{-x}}2 \le e^{x^2/2}$

Question

Demostrar la siguiente desigualdad: $$\dfrac{e^x + e^{-x}}2 \le e^{\frac{x^2}{2}}$$

Esto debe ser resuelto mediante la serie de Taylor.

He intentado ampliar la izquierda para el 5to grado y el lugar adecuado para el 3er grado, pero no ayuda.

Algún consejo?

Answer 1

$$\frac{e^x+e^{-x}}{2} = \frac{\left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \right) + \left(1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots \right)}{2} = \frac{2 + 2 \frac{x^2}{2!} + 2 \frac{x^4}{4!} + \cdots}{2}$$

$$ = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720}+ \cdots$$

$$e^{\frac{x^2}{2}} = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{\left(\frac{x^2}{2}\right)^2}{2!} + \frac{\left(\frac{x^2}{2}\right)^3}{3!} + \cdots = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + \frac{x^6}{48} + \cdots$$

---

Básicamente, se reduce a la comparación de $\displaystyle \frac{1}{(2n)!}$$\displaystyle \frac{1}{2^n n!}$, debido a que son los coeficientes de la $\displaystyle \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$e^{\frac{x^2}{2}}$, respectivamente. Tomamos nota de que $$\frac{1}{(2n)!} = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (2n-1) \cdot (2n)}$$ while $$\frac{1}{2^n n!} = \frac{1}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n-2) \cdot (2n)}$$ Debido a que el denominador de la segunda es obviamente menor que la de la primera, la segunda fracción es más grande que la primera. Esto se aplica a todos los $n$, y por lo tanto $$\frac{e^x+e^{-x}}{2} \le e^{\frac{x^2}{2}}$$

Answer 2

El uso de $e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} x^k$, obtenemos $$ \frac{1}{2}\left( e^x + e^{-x}\right) = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} [ x^k + (-x)^k] = \sum_{i=0}^\infty ??? x^{2i}, $$ y $$ e^\frac{x^2}{2} = \sum_{k=0}^\infty ??? x^{2k}. $$

Llenar ???, y mostrar que cada término de la primera suma es menor que el correspondiente término en la última suma.