$AB-BA$ es nilpotent de la matriz si los viajes con $A$

Question

Esto lo vi en un MathOverflow post y estoy poniendo aquí para la posteridad.

Problema: Deje $A$ $B$ por las matrices cuadradas y establecer $C=AB-BA$. Si $AC=CA$, demuestran $C$ es nilpotent.

Answer 1

Sugerencia: yo uso este teorema: Si $\forall i\ge1$ trac ${C^i}=0$, $C$ es nilpotent.

Usted puede fácilmente demostrar por inducción que trac (${C^i})=0$ todos los $i\ge1$.

Edit1: Teorema :$\forall i\ge1$ trac ${C^i}=0$ fib C es nilpotent.

Prueba: $C$ es una verdadera matriz pero usted asume $A$ es una matriz compleja y $f(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)$ es su polinomio característico en el campo complejo. Usted puede probar que trac($C^k$)=$\sum_{i=1}^n {a_i^k}$ por inducción, y si $\forall k\in\mathbb N$ trac($C^k$)=$\sum_{i=1}^n {a_i^k}=0$ a continuación,$a_i=0$. Por lo tanto, $f(x)=x^n$, lo $A^n=0$ y se muestra que C es nilpotent.

Answer 2

Supongamos $\mathcal A$ es una normativa de álgebra y $\delta:\mathcal A\to\mathcal A$ es un almacén de derivación. Si $x\in A$$\delta(\delta(x))=0$,$\lim\limits_{n\to\infty}\|\delta(x)^n\|^{1/n}=0$. Prueba de ello es como Teorema 2.2.1 en Sakai del álgebra de operadores en los sistemas dinámicos.

Esto se aplica para el caso de que $\mathcal A=M_n(\mathbb C)$, $\delta(X)= AX-XA$. Para un $n$a$n$ real o compleja matriz $C$, $\lim\limits_{n\to\infty}\|C^n\|^{1/n}=0$ si y sólo si $C$ es nilpotent.

(Yo también comento sobre esta aplicación en una respuesta a una pregunta diferente , donde el resultado era aplicable.)