¿la función determinante es una función abierta?

Question

La función determinante $\det:M(n,\mathbb R)\rightarrow \mathbb R$ ¿es un mapa abierto o un mapa cerrado?

La función determinante $\det:M(n,\mathbb C)\rightarrow \mathbb C$ ¿es un mapa abierto o un mapa cerrado?

Answer 1

¡Es una función abierta! En primer lugar, enunciaremos un resultado estándar sobre las funciones abiertas. Supongamos que $f:X\to Y$ . Entonces $f$ es abierto si y sólo si para cada punto $x$ y cada barrio $U$ de $x$ hay un vecindario $V$ de $f(x)$ para que $V \subset f(U)$ . Además, basta con suponer $U$ es básicamente abierto.

No sé cómo demostrar esto simultáneamente para matrices invertibles y no invertibles, así que tendremos que hacer casos. Siento que sea tan largo... Seguiré pensando en una solución más sencilla.

Empecemos por el caso invertible. Sea $\varepsilon >0$ . Supongamos que $M$ es un invertible $n\times n$ matriz sobre $\mathbb{F}$ ( $\mathbb{F}$ puede ser complejo o real, no importa). A continuación, fije un pequeño $x$ . (Más adelante averiguaremos lo pequeño que es.) En el entorno real, dejemos que $z$ sea el $n^\text{th}$ raíz de $1+x$ . en el entorno complejo necesitamos la raíz con el menor argumento. ES DECIR

$$z = \sqrt[n]{|1+x|}e^{(\arg 1+x)/n}$$

Ahora, supongamos que $x$ es lo suficientemente pequeño como para que $$ |1-z|<\frac{\varepsilon}{\|M\|} $$ Así que tenemos $$ \|M-zM\|\leq |1-z|\;\|M\|<\varepsilon $$

Por último, $$ \det(zM)=z^n\det(M)=(1+x)\det M $$ Ahora, porque $\det M \neq 0$ podemos elegir $x$ para darnos algún valor cercano $\det M$ . Así que hay algo de vecindad $V$ alrededor de $\det M$ con $V\subset f[B(M,\varepsilon)]$

Ahora podemos ponernos a trabajar en el caso no invertible. Sea $\varepsilon >0$ . Supongamos que $M$ es un no-invertible $n\times n$ matriz. Sea $M=SJS^{-1}$ sea la descomposición de Jordan de $M$ . Entonces $J$ es una matriz de forma Jordan, y sabemos que al menos $1$ de sus entradas diagonales es $0$ . Sea $\lambda_1,...,\lambda_i$ sean los valores propios no nulos. (Puede que no haya ninguno, simplemente deja que $i=0$ en ese caso). Luego están $j:= n-i$ muchos $0$ entradas diagonales. Sea $J'$ sea la matriz donde la primera $0$ la diagonal se sustituye por $x$ y el resto por $|x|$ para algunos pequeños $x$ . ( $M$ es singular por lo que hay al menos una entrada de este tipo). Obsérvese $$ \|M-SJ'S^{-1}\|=|x| $$

También, $$ \det(SJ'S^{-1})=\det J'= x|x|^{j-1}\Pi_{k=0}^i \lambda_k $$

Así que queremos $|x|<\varepsilon$ . Así que al elegir $x$ adecuadamente, podemos conseguir un pequeño barrio alrededor de $0$ Llámalo $V$ , donde $V\subset f[B(M,\varepsilon)]$

Entonces, ¡hemos terminado! yay.

Answer 2

En el caso complejo podemos utilizar este lema: Sea $P$ sea un polinomio no constante en $z_1,\dots ,z_m.$ Entonces $P$ es un mapa abierto de $\mathbb {C}^m$ a $\mathbb {C}.$ Como el determinante es un polinomio no constante en $\mathbb {C}^{n^2},$ el resultado deseado para $M_n(\mathbb {C})$ sigue.

Prueba del lema: Sea $B(a,r)$ sea una bola abierta en $\mathbb {C}^m.$ Entonces $P$ no puede ser constante en $B(a,r)$ (esto es cierto para cualquier polinomio no constante en cualquier espacio euclidiano). Para $w\in \mathbb {C}^m,$ dejar $P_w(\lambda)= P(a+\lambda w)$ para $\lambda \in \mathbb {C}.$ Entonces cada $P_w$ es un polinomio holomorfo en $\mathbb {C}.$ Tenemos

$$P(B(a,r)) = \cup_{\|w\|=1} \{P(a+\lambda w): |\lambda| < r\}.$$

Por el teorema del mapa abierto en una variable compleja, cada $P_w$ es constante o un mapa abierto. Por lo tanto, cada conjunto en la unión anterior es $\{P(a)\}$ o un conjunto abierto que contenga $P(a).$ Porque $P$ no es constante en $B(a,r),$ algunos de los conjuntos de la unión son abiertos, por lo que la unión es abierta. Esto demuestra que $P$ está abierto como se desea.

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Pensé en añadir esta prueba para el caso real: Reclamo: $\det$ no tiene extremos locales. Supongamos que demostramos esto. Sea $B$ sea una bola abierta en $M_n(\mathbb {R}).$ Porque $\det$ es continua y $B$ está conectado, $\det B$ es un intervalo acotado. Este intervalo no puede tener la forma $[a,b),[a,b],(a,b],$ De lo contrario, $\det$ tiene un extremo en $B.$ Así, cada $\det (B)$ es un intervalo abierto, por lo que $\det$ es un mapa abierto.

Prueba de la afirmación: Supongamos que $\det M \ne 0.$ (Este es el caso fácil.) Dejemos que $r>0.$ El mapa $f(x) =x M$ es continua desde $\mathbb {R}$ a $M_n(\mathbb {R}).$ Por lo tanto, existe un intervalo abierto $I$ sobre $1$ tal que $f(I)\subset B(M,r).$ Para estos $x$ tenemos $\det (xM) = x^n \det M,$ de la que podemos ver $\det [B(M,r)]$ incluye valores por encima y por debajo $\det M.$ Así, $\det$ no tiene un extremo local en $M.$

Supongamos ahora que $\det M =0.$ Dejemos que $S$ sea la transformación lineal cuya matriz es $M$ (en relación con la base estándar). Entonces podemos escribir $$\mathbb {R}^n = X\oplus \ker S = S(\mathbb {R}^n) \oplus Y,$$ donde $m=\dim X = \dim S(\mathbb {R}^n)$ para algunos $m<n,$ y $\dim \ker S = \dim Y=n-m.$ Dejemos que $T$ sea una transformación lineal tal que $T = 0$ en $X,T(\ker S) = Y.$ Entonces $S+xT$ es no singular para $x\in \mathbb {R},x\ne 0.$ Por lo tanto, $\det (S+xT)\ne 0$ para tal $x.$ Para asegurarnos de que tenemos valores positivos y negativos, dejemos que $u_1,\dots, u_m$ sea una base para $X,$ $u_{m+1},\dots u_n$ una base para $\ker T.$ Dejemos que $T'$ sea la transformación lineal tal que $T'=T$ sobre esta base, excepto para $u_n,$ donde definimos $T'(u_n) = - T(u_n).$ Entonces $\det (S+xT') = -\det (S+xT),$ lo que se puede ver mirando las matrices de estas transformaciones con respecto a la base $u_1,\dots ,u_n.$

Si ahora dejamos que $M(x),M'(x)$ sean las matrices de $S+xT, S+xT'$ con respecto a la base estándar, vemos que $\det$ toma valores positivos y negativos en cualquier $B(M,r).$ Así termina la prueba.

Answer 3

Para complementar la buena respuesta de Zach Stone, observe también que $\det$ es no un mapa cerrado para $n\ge2$ (si $n=1$ entonces $\det = \operatorname{id}$ ). En efecto, en ambos casos se puede considerar el conjunto de matrices que vienen dadas por $$M_t=\pmatrix{t&0\\0&\frac{1}{t^2}}$$ en la esquina superior izquierda y se corresponden con la matriz de identidad en todas las demás partes para $t$ que se ejecuta en $(0,\infty)$ . Está cerrado, como hemos $$\|M_t\| = \cases{t&if $ t\ge1 $\\ \frac{1}{t^2}&if $ t\le1 $}$$ y por lo tanto cualquier secuencia convergente en este conjunto debe ser del tipo $\{M_{t_n}\}_n$ con $\{t_n\}_n$ convergiendo a un número finito y no nulo (si no, la norma divergiría). Sin embargo, tenemos que $$\det(\{M_t|t\in(0,\infty)\}) = (0,\infty),$$ que no está cerrado.

Answer 4

Aquí hay otro enfoque para el caso invertible:

Fijar una matriz invertible $A$ y que $B$ sea una matriz cualquiera, entonces $$ \frac{d}{dt}\biggr|_{t=0} \det(A+tAB) = \det(A)\frac{d}{dt}\biggr|_{t=0} \det(I+tB) = \det(A)\mathrm{tr}(B) $$

Como podemos escoger matrices de norma arbitrariamente pequeña con trazos positivos y negativos, obtenemos que $\det$ es un mapa abierto sobre $A$ .