Dejemos que $H$ sea un subgrupo de $G$ tal que para todo $x \in G$ , $x^2 \in H$

Question

Dejar $H$ sea un subgrupo de $G$ tal que para cada $x\in G$ , $x^{2}\in H$ . Entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

a. $H$ es un subgrupo normal que contiene $G'$ .

b. $H$ es un subgrupo abeliano normal.

c. $H=G$ .

d. $H$ es un subgrupo máximo.

c no tiene por qué ser cierto. Por ejemplo, considere $H=2\Bbb Z$ y $G=\Bbb Z$ . Quiero saber cuál de los a , b o d ¿es cierto?

Gracias.

Answer 1

Pistas:

(1) En cualquier grupo $\,G\,$ el subgrupo $\,G^n:=\langle\,x^n\;;\;x\in G\,\,,\,n\in\Bbb N\,\rangle\,$ es normal (de hecho, es un subgrupo totalmente invariable)

(2) Cualquier grupo $\,G\,$ para lo cual $\,x^2=1\,\,\,\forall\,x\in G\,$ es abeliano

(3) En su caso , $\,H\triangleleft G\,$ y $\,G/H\,$ es abeliana.

(4) $\,\forall\,N\triangleleft G\,$ en cualquier grupo $\,G\,$ , $\,G/N\,$ es abeliano si $\,G'\leq N\,$

¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

No estoy del todo seguro de $(a)$ y $(b)$ déjame pensarlo un rato.

Para $(d)$ , $H$ no tiene por qué ser máxima, ya que podemos considerar un grupo de orden $8$ donde todos los elementos tienen orden $2$ excepto la identidad. Entonces $H=\{e,a\}$ es un subgrupo, cada elemento que no está en $H$ tiene orden $2$ es decir, $g^2=e\in H$ pero $J=\{e,a,b,ab\}$ es un subgrupo que contiene $H$ Por lo tanto $H$ no es máxima.