Demostrar que $3x^3+4y^3+5z^3 \equiv 0 \pmod{p}$ es solucionable para todos los primos p

Question

Estoy tratando de demostrar que la congruencia $3x^3+4y^3+5z^3 \equiv 0 \pmod{p}$ es resoluble para todos los primos p. Lo demostré usando la raíz primitiva, pero mi profesor de teoría de números me dijo que se puede hacer más directamente usando el teorema de Hasse-weil en la teoría de las curvas elípticas, pero no puedo hacerlo. ¿Podría alguien indicarme cómo hacer uso del teorema de Hasse-Weil, por favor? Gracias de antemano.

Answer 1

Esto puede hacerse en $4$ pasos:

1. Pruébalo directamente para $p=2,3$ es decir, encontrar una solución no trivial módulo $2$ y un módulo $3$ .

2. Demostrar que $C: 3x^3+4y^3+5z^3=0$ es una curva no singular sobre $\mathbb{F}_p$ , donde $p>3$ es un primo.

3. Muestre lo siguiente: si $C:F(x,y,z)=0$ es una curva no singular dada por un polinomio homogéneo de grado $d\geq 1$ entonces el género de $C$ viene dada por $(d-1)(d-2)/2$ . En particular, en nuestro caso, $g=1$ . (Este es el ejercicio 2.7 del capítulo 2 de "La aritmética de las curvas elípticas" de Silverman, por ejemplo).

4. Utilice el Límites de Hasse-Weil .

Nota No se puede utilizar el hecho de que $C/\mathbb{F}_p$ es una curva elíptica antes de encontrar un $\mathbb{F}_p$ -punto racional en $C$ ¡!