¿Cómo resolver esta integral impropia: $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2-x}dx$?

Question

Estoy tratando de resolver esta integral: $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2-x}dx$$ WolframAlpha la muestra a ser aproximadamente de $2.27588$. He tratado de resolver mediante la integración por partes, pero yo no podía entrar allí. Me gustaría si alguien podría enseñarme cómo hacerlo.

He incluido mi intento en el problema siguiente:

Nota:$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2-x} = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}e^{-x}dx$. A continuación, podemos integrar por partes. Deje $u(x) = e^{-x^2}$. A continuación,$u'(x) = -2xe^{-x}$. Deje $v'(x) = e^{-x}$. A continuación,$v(x) = -e^{-x}$.

A continuación,$u(x)v'(x) = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)dx$, es decir, $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}e^{-x}dx = -e^{-x^2}e^{-x} - \int e^{-x}2xe^{-x}dx = -e^{-x^2-x} - 2\int e^{-2x}xdx$$

Luego integramos $\int e^{-2x}xdx$ por partes. Recogemos $u(x) = x$, $u'(x) = dx$, $v'(x) = e^{-2x}$, y $v(x) = \int e^{-2x} dx = \frac {-1}{2} e^{-2x}$ u-sustitución. Saltarse algunos pasos, se sigue que $$\int e^{-2x}xdx = -\frac{1}{4}(e^{-2x})(2x+1)$$ Entonces $$ -e^{-x^2-x} - 2\int e^{-2x}xdx = -e^{-x^2-x} + \frac{1}{2}(e^{-2x})(2x+1)$$ Que, cuando se evalúan numéricamente, no produce el resultado deseado. Así que hay un problema aquí. Tal vez alguien sabe cómo hacer esto.

Answer 1

Reescribir el integrando como $$\exp({-x^2 - x}) = \exp({-(x^2 + x + 1/4) + 1/4} ) = \exp(-(x+1/2)^2) \cdot \exp(1/4)$$ It is well known that $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}$$ so the above manipulation proves $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2 - x} \, dx = e^{1/4} \sqrt{\pi} \approx 2.2758$$

Answer 2

SUGERENCIA

$$x^2-x=(x-1/2)^2-1/4$$

Entonces, el factor a cabo el plazo $e^{-1/4}$, hacer un cambio de variable $x-1/2\to x$, y el uso de

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$$

Answer 3

Lo básico a saber es que, como las otras respuestas, dijo, $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi} $.

A continuación, para cualquier reales $a$ $b$,

$\begin{array}\\ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2-ax-b} \, dx &=e^{-b}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2-ax} \, dx\\ &=e^{-b}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2-ax-a^2/4+a^2/4} \, dx \quad\text{(completing the square)}\\ &=e^{-b+a^2/4}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-a/2)^2} \, dx\\ &=e^{-b+a^2/4}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\\ &=e^{-b+a^2/4}\sqrt{\pi}\\ \end{array} $

Un argumento similar le permitirá obtener una fórmula para $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2-bx-c} \, dx $ en términos de $a, b, c, $ y $\sqrt{\pi}$.