Es todo espacio de homología equivalente a un Eilenberg–MacLane espacio?

Question

Homología de equivalencia puede ser definido de la siguiente manera (cualquier otro modo podrían no ser equivalente a la de abajo): $X \sim Y$ si existen dos mapa $f : Y \to X$, $g : X \to Y$, tal que $(fg)^* = id_{H(X)}$ $(gf)^* = id_{H(Y)}$ (donde homología se toma con coeficientes enteros).

Para todos los CW-complejos $X$, ¿existe un grupo de $\pi$ de manera tal que el Eilenberg–MacLane espacio de $K(\pi, n)$ es de homología equivalente a X?

Answer 1

No. Por ejemplo, $X=S^2$ y supongamos $f:X\to K(\pi,n)$ es una homología de equivalencia. Desde $f$ no es nullhomotopic, $\pi_2(K(\pi,n))\neq 0$, lo $n=2$. Pero, a continuación, $X$ $K(\pi,n)$ simplemente conectado, por lo $f$ tendría que ser un homotopy de equivalencia. Desde $X$ tiene mayor homotopy grupos, esto es una contradicción.

De manera más general, un argumento similar se trabaja siempre $X$ simplemente se conecta y tiene un trivial Hurewicz mapa en alguna dimensión (y $X$ sí no es una $K(\pi,n)$).

Quiero señalar, sin embargo, que hay un resultado positivo si se requiere la homología de equivalencia sólo a existir como un mapa en una sola dirección. El Kan-Thurston teorema dice que si $X$ es cualquier trayectoria-conectado espacio, entonces hay un grupo de $\pi$ y un mapa de la $f:K(\pi,1)\to X$ que induce isomorphisms en la homología.