Tengo una pregunta con respecto a la estrella de Hodge operador. Soy completamente nuevo a la noción de exterior derivados de la cuña y productos. He tenido que enseñar a mí mismo en el último par de días, así que espero que mi pregunta no es trivial.
He encontrado los siguientes fórmulas en internet, que parecen coincidir con las definiciones de los dos libros (Carroll y Báez Y Muniain) que tengo. Para un general $p$-forma en un $n$-dimensiones múltiples:
\begin{equation} v=\frac{1}{p!} v_{i_1 \ldots i_p} \mathrm{d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p} \end{equation}
el operador de Hodge se define a actuar sobre la base de la $p$-forma de la siguiente manera:
\begin{equation} *\left( \mathrm{d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p} \right) = \frac{1}{q!} \tilde{ \varepsilon}_{j_1,\ldots,j_q}^{i_1,\ldots,i_p} \mathrm{d} x^{j_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d} x^{j_q} \end{equation}
donde $q=n-p$ $\tilde{ \varepsilon}$ es la de Levi-Civita tensor. Hasta aquí todo está bien, he conseguido hacer algunos ejercicios y obtener las respuestas correctas. Sin embargo, en realidad, tratando de calcular la curvatura de la causa de algunos problemas conmigo.
Para dar un poco de fondo. Estoy trabajando con una curvatura en una de Yang-Mills teoría esféricas en coordenadas $(r, \theta, \varphi)$. El uso de medidor de transformación, he tenido que deshacerse de la dependencia del tiempo, $r$ dependencia y $\theta$ dependencia. Por lo tanto, la curvatura es dada por:
\begin{equation} F = \partial_\theta A_{ \varphi} \; \mathrm{d}\theta \wedge \mathrm{d} \varphi \end{equation}
Aplicando el operador de Hodge de acuerdo a la fórmula anterior, se obtiene:
\begin{equation} * \left(\mathrm{d} \theta \wedge \mathrm{d} \varphi\right) = \frac{1}{(3-2)!} \tilde \varepsilon^{\theta \varphi}_r \mathrm{d}r=\mathrm{d}r \end{equation}
de tal forma que:
\begin{equation} *F = (\partial_\theta A_{ \varphi}) \mathrm{d} r \end{equation}
Sin embargo, tres fuentes diferentes de dar una fórmula diferente. Específicamente se dan:
\begin{equation} *F = (\partial_\theta A_{ \varphi}) \frac{1}{r^2 \sin \theta} \mathrm{d} r \end{equation}
Es que no me queda claro de dónde sacan esto de. Algo que se ha mencionado sobre el hecho de que la natural forma de volumen es$\sqrt{g} \; \mathrm{d} r \wedge \mathrm{d} \varphi \wedge \mathrm{d} \theta$$\sqrt{g}=r^2 \sin \theta$, que estoy de acuerdo con. Sin embargo, no entiendo por qué ese término se incorpora en el operador de Hodge.
Booz y Muniain definir el operador de Hodge como:
\begin{equation} \omega \wedge * \mu = \langle \omega , \mu \rangle \mathrm{vol} \end{equation}
Pero no veo la manera de que la fórmula es aplicable para calcular el operador de Hodge en la curvatura. Podría alguien decirme donde estoy mal o me proporcionan una fuente donde explican esto?
