Encontrar el menor valor posible de $a_1$.

Question

Deje $a_1,a_2,...,a_{11}\in \mathbb{N}$$a_1<a_2<...<a_{11}$. Si $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2},...,\frac{1}{a_{11}}$ formas de una progresión aritmética, encontrar el menor valor posible de $a_1$.

Mi respuesta es 2520, tengo este por encontrar el MCM de 1, 2, ..., 11, lo que significa que la progresión aritmética es 1/27720, 2/27720, ..., 11/27720, 11/27720=1/2520, así que la respuesta es 2520. Pero la respuesta debe ser 2310, lo que está mal con mi solución? Gracias.

Answer 1

3 y 4 están en el conjunto de $\{1, 2, \dotsc , 11\}$, que se tomó la LCM, por lo que se 12 (3 $\times$ 4) también es un divisor de 27720.

Podemos tomar ventaja de este conocimiento, y en lugar de la construcción de la progresión aritmética $\frac{1}{27720}, \frac{2}{27720}, \dotsc , \frac{11}{27720}$, podemos construir la sucesión aritmética $\frac{2}{27720}, \frac{3}{27720}, \dotsc , \frac{12}{27720}$.

$\frac{12}{27720} = \frac{1}{2310}$, y 2310 $<$ 2520. Así 2310 es la respuesta correcta.

Tratando de este con 13 en vez de 12 requeriría tomar el MCM de un conjunto totalmente diferente, y tratando con cosas como 14 (2 $\times$ 7), que son también divisores de 27720, requiere todavía de tomar la LCM con 13 involucrados, porque no se puede formar una progresión aritmética como esta por ir de $\frac{12}{27720}$ $\frac{14}{27720}$(progresiones aritméticas requerir que las diferencias entre los términos sucesivos a ser constante).