A continuación se presentan algunos hechos básicos sobre semigrupos fuertemente continuos que serán útiles:
- Dejemos que $A$ sea el generador infinitesimal de $S(\cdot)$ . Entonces $D(A)$ (el dominio de $A$ ) es denso y $A$ está cerrado.
- Para cualquier $x\in D(A)$ tenemos $S(t)Ax=\frac{d}{dt}S(t)x$ .
- Si dos semigrupos fuertemente continuos tienen el mismo generador infinitesimal, entonces de hecho son el mismo semigrupo.
Arreglar $\lambda>0$ , $x\in H$ y definir $J(t):=\int_0^t S(\tau)x\,d\tau$ ( $J$ depende de $x$ también, pero lo omitiré para simplificar).
Por hipótesis tenemos $\|J(t)\|\le t\|x\|$ por lo que la integral $$R(\lambda)x:=\lambda\int_0^\infty e^{-\lambda t}J(t)\,dt$$ tiene sentido. Comprobemos que $R(\lambda)=(\lambda I-A)^{-1}$ .
$\bullet$ $(S(\epsilon)-I)\int_0^T e^{-\lambda t}J(t)\,dt=\int_0^T e^{-\lambda t}\left(\int_0^t(S(\epsilon)-I)S(\tau)x\,d\tau\right)\,dt$
$=\int_0^T e^{-\lambda t}\left(\int_\epsilon^{t+\epsilon}S(\tau)x\,d\tau-\int_0^t S(\tau)x\,d\tau\right)\,dt$
$=\int_0^T e^{-\lambda t}\left( J(t+\epsilon)-J(\epsilon)-J(t)\right)\,dt$
$=e^{\lambda\epsilon}\int_\epsilon^{T+\epsilon}e^{-\lambda t}J(t)\,dt-\int_0^T e^{-\lambda t}J(t)\,dt-\frac{1-e^{-\lambda T}}{\lambda}J(\epsilon)$
y tomando el límite como $T\to\infty$ al principio y al final de esta cadena de igualdades y dividiendo por $\epsilon$ obtenemos $$\frac{S(\epsilon)-I}{\epsilon}\int_0^\infty e^{-\lambda t}J(t)\,dt=\frac{e^{\lambda\epsilon}-1}{\epsilon}\int_0^\infty e^{-\lambda t}J(t)\,dt-\frac{J(\epsilon)}{\lambda\epsilon}-\frac{e^{\lambda\epsilon}}{\epsilon}\int_0^\epsilon e^{-\lambda t}J(t)\,dt$$ Pero el RHS posee un límite como $\epsilon\to 0$ , a saber $R(\lambda)x-\frac{x}{\lambda}$ (el último término tiende a $0$ desde $e^{-\lambda t}J(t)=o(1)$ ): así $\frac{R(\lambda)x}{\lambda}=\int_0^\infty e^{-\lambda t}J(t)\,dt\in D(A)$ y $$A\frac{R(\lambda)x}{\lambda}=R(\lambda)x-\frac{x}{\lambda}$$ es decir $(\lambda I-A)R(\lambda)x=x$ .
$\bullet$ Supongamos ahora $x\in D(A)$ . El segundo hecho expuesto al principio da
$\int_0^T e^{-\lambda t}\left(\int_0^t S(\tau)Ax\,d\tau\right)\,dt =\int_0^T e^{-\lambda t}(S(t)x-x)\,dt$
$=e^{-\lambda T}J(T)+\lambda\int_0^T e^{-\lambda t}J(t)\,dt-\frac{1-e^{-\lambda T}}{\lambda}x$ (en la última igualdad integramos por partes).
Envío de $T\to\infty$ obtenemos $$R(\lambda)Ax=\lim_{T\to\infty}\int_0^T e^{-\lambda t}\left(\int_0^t S(\tau)Ax\,d\tau\right)\,dt=R(\lambda)x-\frac{x}{\lambda}$$ así que $(\lambda I-A)R(\lambda)x=x$ . Además $R(\lambda):H\to D(A)$ es un operador acotado. Esto demuestra que $\lambda$ pertenece a la resolver conjunto de $A$ y que $R(\lambda)=(\lambda I-A)^{-1}$ .
Finalmente $\|R(\lambda)x\|\le \lambda\int_0^\infty e^{-\lambda t}\|J(t)\|\,dt \le \lambda\int_0^\infty e^{-\lambda t}t\|x\|\,dt=\frac{\|x\|}{\lambda}$ , así que $\|(\lambda I-A)^{-1}\|\le\frac{1}{\lambda}$ .
Así que Teorema de Hille-Yosida para semigrupos de contracción implica que $A$ genera un semigrupo de contracción, que coincide con $S(\cdot)$ .
