La diferencia entre el álgebra abstracta y universal de álgebra

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"Álgebra Universal (a veces llamado álgebra general) es el campo de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas sí mismos, no en los ejemplos ("modelos") de estructuras algebraicas. Por ejemplo, en lugar de tomar a grupos particulares, como el objeto de estudio, en álgebra universal uno toma la "teoría de grupos" como un objeto de estudio".

Por favor alguien puede explicar la diferencia en términos más específicos.

Answer 1

Tres preguntas típicas de álgebra abstracta (con respuestas):

• ¿Cuál es la estructura del grupo de unidades de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]^*$?
• Es cada subgrupo de un grupo libre en $n$ generadores de forma gratuita?
• ¿Cuáles son los máximos ideales de la $\mathbb{C}[x_1,\dotsc,x_n]$?

Tres preguntas típicas en álgebra universal:

• Si una variedad tiene un trivial álgebra, tiene un trivial simple álgebra?
• ¿Cómo podemos detectar si una variedad es la congruencia-permutable?
• Para que las variedades de finito tipo es la teoría de lo finito álgebras de decidable?

En cierto sentido, álgebra universal es abstracta (álgebra abstracta): los Objetos de estudio son variedades (es decir, la clase de todos los conjuntos equipadas con ciertas operaciones que se satisface alguna de las reglas). En álgebra abstracta en el estudio de los objetos de una variedad fija. Muchas construcciones y nociones de álgebra abstracta puede ser generalizado dentro de álgebra universal.

Answer 2

Voy a intentar responder a la pregunta sin asumir el conocimiento de lo que una variedad es.

En álgebra abstracta definimos el álgebra estamos estudiando como un conjunto con los específicos de las operaciones y específico de reglas o axiomas. Por ejemplo, si estamos estudiando los grupos, se define un grupo como una tupla $ \langle G, \cdot, ^{-1}, 1 \rangle $ donde $ G $ es un conjunto, $ \cdot $ es una operación binaria en $ G $, $ ^{-1} $ es un unario operación $ G $ y 1 es una constante. Las reglas son

1. Para todos $ x,y,z \in G $, $ x \cdot ( y \cdot z ) = ( x \cdot y ) \cdot z $
2. Para todos $ x \in G $, $ x^{-1} \cdot x = 1 $ y $ x \cdot x^{-1} = 1 $
3. etc.

En contraste, en álgebra universal comenzamos por definir un álgebra como una tupla $ \langle A, \rho \rangle $ donde $ A $ es un conjunto con algunos arbitraria conjunto de operaciones $ \rho $. Cuando la comparación o la manipulación de álgebras de nosotros, a continuación, normalmente restringen nuestra álgebras de ser similares, es decir, tienen el mismo tipo, que es cada una de sus operaciones deben tener el mismo orden, por ejemplo en los grupos, es binario, unarios y constante. Sin embargo, no siempre se especifica el tipo.

Este mayor nivel de abstracción nos permite hacer diferentes preguntas acerca de álgebras. Por ejemplo, podemos preguntar: "si tenemos una clase de similar álgebras, ¿bajo qué condiciones las álgebras de satisfacer las mismas ecuaciones?" O "¿en qué condiciones puede estas ecuaciones se reducen a un número finito?" O "¿cómo podemos encontrar todas las álgebras de que cumplen la misma ecuaciones como un dado."

Si una clase de similar álgebras son cerrados con respecto a la satisfacción de las mismas ecuaciones (a diferencia de algo más general como frases) es lo que llamamos una variedad. Estos son uno de los principales objetos de estudio en álgebra universal. Por ejemplo, la clase de todos los grupos es trivialmente una variedad porque son definidos por las ecuaciones anteriores.