Cíclico Pentágono

Question

Examinar el mencionado pentágono. Supongamos que la distancia de un punto a a $A$$BC$$a$, la distancia de$A$$CD$$b$, y la distancia de$A$$DE$$c$. En términos de esto, ¿cómo podemos encontrar la distancia de$A$$BE$?

Answer 1

Sugerencia: expresar cada distancia en términos de la radio del círculo y los cosenos de los ángulos subtendido en el centro $AB$, $AC$, $AD$ y $AE$. Si no me equivoco, usted debe encontrar que el producto de dos de las distancias es igual al producto de los otros dos.

EDIT: de hecho, si $\beta$ $\gamma$ son los ángulos subtendido en el centro por $AB$ $AC$ y el radio es $r$, me parece que la distancia de $A$ $BC$es $2 r |\sin(\beta/2) \sin(\gamma/2)|$. Del mismo modo que las otras distancias.

EDICIÓN (la incorporación de comentarios como pedido): Dado que el$d(A,BC)=2r|\sin(\beta/2)\sin(\gamma/2)|$, y del mismo modo $d(A,CD)=2r|\sin(\gamma/2)\sin(\delta/2)|$, $d(A,DE)=2r|\sin(\delta/2)\sin(\epsilon/2)|$ y $d(A,BE)=2r|\sin(\beta/2)\sin(\epsilon/2)|$, tenemos $$d(A,BC)d(A,DE)=4r^2|\sin(\beta/2)\sin(\gamma/2)\sin(\delta/2)\sin(\epsilon/2)|=d(A,BE)d(A,CD)$$