Con el mismo enfoque que tomó en esta respuesta, tenemos:
$$\begin{eqnarray*}\arctan\left(\frac{\sin x}{\sqrt{3}+\cos x}\right) &=& \text{Im}\log\left(\sqrt{3}+e^{ix}\right)\\&=&\text{Im}\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n\sqrt{3}^n}\,e^{inx}\\&=&\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n\sqrt{3}^n}\,\sin(nx)\tag{1}\end{eqnarray*} $$
y mediante el cálculo de $\int_{0}^{\pi/2}\sin(nx)\sin(mx)\,dx$ se sigue que:
$$\begin{eqnarray*}I&=&\int_{0}^{\pi/2}\arctan^2\left(\frac{\sin x}{\sqrt{3}+\cos x}\right)\,dx\\&=&\frac{\pi}{4}\,\text{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)+\sum_{m\neq n}\frac{(-1)^{n+m}}{nm\sqrt{3}^{n+m}}\int_{0}^{\pi/2}\sin(nx)\sin(mx)\,dx\tag{2}\end{eqnarray*}$$
pero la última integral es cero si $n$ $m$ tienen la misma paridad.
De ello se desprende que el último de la serie en $(2)$ puede ser escrita como:
$$\begin{eqnarray*}-\sqrt{3}\sum_{a\geq 1}\sum_{b\geq 1}\frac{1}{(2b-1)3^{a+b}}\cdot\frac{(-1)^{a+b}}{(2a)^2-(2b-1)^2}\tag{3}\end{eqnarray*}$$
y por indexar el último doble de la serie en $a+b=s$ obtenemos:
$$\begin{eqnarray*}-\sqrt{3}\sum_{s\geq 2}\frac{(-1)^s}{3^s}\sum_{b=1}^{s-1}\frac{1}{2b-1}\cdot\frac{1}{(2s-2b)^2-(2b-1)^2}\tag{3}\end{eqnarray*}$$
que pueden ser tratados a través de la fracción parcial de la descomposición y dilogarithm identidades.
